Χαριτωμένοι και Θαυμάσιοι

Fotis34 · #1

Ονομάζουμε έναν πρώτο αριθμό $\displaystyle{p}$ χαριτωμένο αν υπάρχει πρώτος
αριθμός

τέτοιος, ώστε και οι δύο αριθμοί

pq-2,\qquad pq+2

να είναι πρώτοι.

Επίσης, ονομάζουμε έναν πρώτο αριθμό $\displaystyle{p}$ θαυμάσιο αν τόσο ο

όσο και ο

είναι χαριτωμένοι.

Να προσδιορίσετε όλους τους θαυμάσιους αριθμούς.

Υ.γ : Ίσως η άσκηση να πρέπει να τοποθετηθεί στον φάκελο των μεγάλων (seniors).

Dimessi · #2

Για χαριτωμένο πρώτο p>5

επειδή

pq-2\not\equiv 0\left ( \mathrm{mod}3 \right )\Longrightarrow pq\not\equiv 2\left ( \mathrm{mod}3 \right )

και

pq+2\not\equiv 0\left ( \mathrm{mod}3 \right )\Longrightarrow pq \not\equiv 1\left ( \mathrm{mod 3} \right ),

επομένως

3|pq.

Αφού

3\nmid p\Longrightarrow \gcd \left ( 3,p \right )=1\Longrightarrow 3\mid q\Longrightarrow q=3

και άρα

3p-2

και

3p+2

είναι πρώτοι και τώρα αφού οι

και

είναι χαριτωμένοι και άρα οι

3p-2,3p+2,3(p+2)-2,3(p+2)+2

είναι όλοι πρώτοι αριθμοί όπως και ο

p+2.

Σαφώς

p\equiv 2\left ( \textrm{mod}3 \right )

και παίρνοντας

\mathrm{mod}5

έχουμε

3p-2\not\equiv 0\left ( \mathrm{mod}5 \right )\Longrightarrow p\not\equiv 4\left ( \mathrm{mod}5 \right )

,

3p+4\not\equiv 0\left ( \mathrm{mod}5 \right )\Longrightarrow p\not\equiv 2\left ( \mathrm{mod}5 \right )

,

3p+2\not\equiv 0\left ( \textrm{mod}5 \right )\Longrightarrow p\not\equiv 1\left ( \mathrm{mod}5 \right )

κι αφού

έπεται ότι

p\equiv 3\left ( \mathrm{mod}5 \right )\Longrightarrow 5\mid p+2

που είναι άτοπο γιατί ο p+2

είναι πρώτος και

p+2>7.

Επομένως για να είναι χαριτωμένοι οι

και

πρέπει

p\leqslant 5.

Τσεκάροντας με το χέρι οι p=3

και

είναι λύσεις.
Φώτη εσύ το έφτιαξες;

Fotis34 · #3

Dimessi έγραψε: Σάβ Σεπ 12, 2026 8:09 pm Για χαριτωμένο πρώτο επειδή $pq-2\not\equiv 0\left ( \mathrm{mod}3 \right )\Longrightarrow pq\not\equiv 2\left ( \mathrm{mod}3 \right )$ και $pq+2\not\equiv 0\left ( \mathrm{mod}3 \right )\Longrightarrow pq \not\equiv 1\left ( \mathrm{mod 3} \right ),$ επομένως $3|pq.$ Αφού $3\nmid p\Longrightarrow \gcd \left ( 3,p \right )=1\Longrightarrow 3\mid q\Longrightarrow q=3$ και άρα $3p-2$ και $3p+2$ είναι πρώτοι και τώρα αφού οι και είναι χαριτωμένοι και άρα οι $3p-2,3p+2,3(p+2)-2,3(p+2)+2$ είναι όλοι πρώτοι αριθμοί όπως και ο $p+2.$
Σαφώς $p\equiv 2\left ( \textrm{mod}3 \right )$ και παίρνοντας $\mathrm{mod}5$ έχουμε $3p-2\not\equiv 0\left ( \mathrm{mod}5 \right )\Longrightarrow p\not\equiv 4\left ( \mathrm{mod}5 \right )$ , $3p+4\not\equiv 0\left ( \mathrm{mod}5 \right )\Longrightarrow p\not\equiv 2\left ( \mathrm{mod}5 \right )$ ,
$3p+2\not\equiv 0\left ( \textrm{mod}5 \right )\Longrightarrow p\not\equiv 1\left ( \mathrm{mod}5 \right )$ κι αφού έπεται ότι $p\equiv 3\left ( \mathrm{mod}5 \right )\Longrightarrow 5\mid p+2$ που είναι άτοπο γιατί ο είναι πρώτος και $p+2>7.$ Επομένως για να είναι χαριτωμένοι οι και πρέπει $p\leqslant 5.$
Τσεκάροντας με το χέρι οι και είναι λύσεις.
Φώτη εσύ το έφτιαξες;

Ακριβώς την ίδια λύση είχα και εγώ, αλλά ήθελα να δω αν υπάρχει διαφορετική.

Dimessi · #4

Εσύ το κατασκεύασες ρε μάγκα;

Χαριτωμένοι και Θαυμάσιοι

Χαριτωμένοι και Θαυμάσιοι

Re: Χαριτωμένοι και Θαυμάσιοι

Re: Χαριτωμένοι και Θαυμάσιοι

Re: Χαριτωμένοι και Θαυμάσιοι

Μέλη σε σύνδεση