Η άλλη χορδή

KARKAR · #1

: Η άλλη χορδή.png (15.01 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου AB=10

, θεωρούμε την χορδή

AS=14/5

. Η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{SAB}$ , τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

. Υπολογίστε την χορδή

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 5:49 pm Η άλλη χορδή.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε την χορδή $AS=14/5$ . Η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{SAB}$ , τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο . Υπολογίστε την χορδή .

.
Λόγω διχοτόμου είναι

SP=PB=x

. Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο ASP

είναι

SB=\dfrac {48}{5}

.

Από Πτολεμαίο στο ASPB

έχουμε

10x+ \dfrac {14x}{5} = \dfrac {48}{5} \sqrt {10^2-x^2}

από όπου

\boxed {SP=x=6}

.

Ως άσκηση είναι κοινότατη. Υπάρχει σε παραλλαγή ή με άλλα νούμερα στα Δεδομένα του Ευκλείδη, ξανά στο Περί Λήμμάτων του Αρχιμήδη και εκ νέου στην Μεγίστη Σύνταξη του Πτολεμαίου. Επίσης την έχει και ο Κόπερνικος στο De lateribus et angulis triangulorum.

KARKAR · #3

Μιχάλη , η λύση σου είναι φυσικά ορθότατη . Λόγω όμως του φακέλου ( στην Β' Λυκείου δεν

διδάσκεται πλέον το θ. Πτολεμαίου ) , θα ήταν προτιμότερη μια λύση με στοιχειώδη εργαλεία .

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 6:43 pm Μιχάλη , η λύση σου είναι φυσικά ορθότατη . Λόγω όμως του φακέλου ( στην Β' Λυκείου δεν

διδάσκεται πλέον το θ. Πτολεμαίου ) , θα ήταν προτιμότερη μια λύση με στοιχειώδη εργαλεία .

: άλλη χορδ.png (20.65 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές

.
Λόγω διχοτόμου είναι

SP=PB=x

. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ASP

είναι

1-2\sin ^2 \theta = \cos (2\theta) = \dfrac {AS}{AB}= \dfrac {14}{50}

και άρα

\sin \theta= \dfrac {6}{10}

.

Τώρα από το ορθογώνιο τρίγωνο APB

είναι

x=SP=BP= 10\sin \theta = 6

.

Υπάρχουν και αρκετές άλλες λύσεις.

#5

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 5:49 pm Η άλλη χορδή.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε την χορδή $AS=14/5$ . Η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{SAB}$ , τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο . Υπολογίστε την χορδή .

S{B^2} = {10^2} - {(\dfrac{{14}}{5})^2}\,\,\,(1).

SM = \dfrac{{SB}}{2} \Rightarrow S{M^2} = \dfrac{{{{10}^2} - {{(\dfrac{{14}}{5})}^2}}}{4}\,\,\,(2)

.

MP = 5 - OM = \dfrac{{18}}{5}\,\,\,(3)

.

: Η άλλη χορδή.png (22.98 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές

Άρα από Π. Θ. στο $\vartriangle MPS$ έχουμε :

{x^2} = \dfrac{{{{10}^2} - {{(\dfrac{{14}}{5})}^2}}}{4} + {(\dfrac{{18}}{5})^2} \Rightarrow \boxed{x = 6}

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 5:49 pm Στο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε την χορδή $AS=14/5$ . Η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{SAB}$ , τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο . Υπολογίστε την χορδή .

: shape.png (21.27 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές

#7

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 9:17 pm
KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 5:49 pm Στο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε την χορδή $AS=14/5$ . Η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{SAB}$ , τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο . Υπολογίστε την χορδή .
shape.png

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 5:49 pm Η άλλη χορδή.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε την χορδή $AS=14/5$ . Η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{SAB}$ , τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο . Υπολογίστε την χορδή .

Έστω

οι προβολές των B,A

στην εφαπτόμενη στο σημείο

Λόγω της διχοτόμου

θα είναι

OP \bot BS

και προφανώς το

ALQB

είναι τραπέζιο με

διάμεσο

OP=5= \dfrac{ \dfrac{14}{5}+2y }{2} \Rightarrow y= \dfrac{18}{5}

Τώρα,

BZ//PL \Rightarrow \dfrac{PZ}{ZA}= \dfrac{y}{AS} = \dfrac{9}{7}

. Άρα

\dfrac{(BPS)}{(ABS)}= \dfrac{9}{7}

\dfrac{x^2sin \phi }{AB.ASsin \omega }=\dfrac{9}{7} \Rightarrow \dfrac{x^2}{28}=\dfrac{9}{7} \Rightarrow x=6

: Η άλλη χορδή.png (37.47 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές

KARKAR · #9

: Η άλλη χορδή λύση.png (21.37 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές

...Εγγεγραμμένο , ίσες χορδές , Π .Θ. και ν. συνημιτόνου στο τρίγωνο PSB

:

x^2+x^2-2x^2(-\dfrac{7}{25})=(\dfrac{48}{5})^2\Leftrightarrow \dfrac{64x^2}{25}=\dfrac{2304}{25}

... άρα : x=6

.

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 6:07 pm Ως άσκηση είναι κοινότατη. Υπάρχει σε παραλλαγή ή με άλλα νούμερα στα Δεδομένα του Ευκλείδη, ξανά στο Περί Λημμάτων του Αρχιμήδη και εκ νέου στην Μεγίστη Σύνταξη του Πτολεμαίου. Επίσης την έχει και ο Κόπερνικος στο De lateribus et angulis triangulorum.

.
Αναρτώ το σχετικό χωρίο από το Περί κύκλων του Αρχιμήδη. Είναι μικρή παραλλαγή του αντίστοιχου στο Περί Λημμάτων του.

Από το Περί κύκλων σώζεται μόνο ένα πολύ μικρό απόσπαμα (το εικονιζόμενο και ένα πόρισμά του) και αυτό μόνο στα Αραβικά. Αυτό που αναρτώ είναι η μετάφραση του χωρίου από τον Σταμάτη, Αρχιμήδους Άπαντα, τόμος Γ'.

Παρατηρούμε ότι πρόκειται για ακριβώς την ίδια άσκηση αλλά το σχήμα "κοιτάει από την άλλη". Υπόψη ότι το ίδιο λήμμα στον Πτολεμαίο, "κοιτάει από την ίδια πλευρά".

p_gianno · #11

: Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-25 212801.png (49.71 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές

Το σημείο

είναι μέσο του τόξου

SB

συνεπώς

SP=PB=x.

Εύκολα τώρα όλες οι γωνίες του σχήματος με τον πορτοκαλί σταυρό είναι ίσες. Φέρω την ακτίνα

OP

που είναι μεσοκάθετος του

SB

και την

OH

κάθετο προς την

AP

.
Είναι

OH=PB/2=x/2

και

ZO=AS/2=14/10

άρα

PZ=OP-OZ=5-14/10=36/10

Τα τρίγωνα

SPB, POA

είναι όμοια και επομένως

SP/PZ=PO/OH ^*

ή

x/(36/10)=5/(x/2)

ή

x^2 = 36

που δίνει τελικά

x=6

* ο λόγος δυο ομόλογων πλευρών ισούται με τον λόγο δύο ομόλογων υψών τους

KARKAR · #12

: Η άλλη χορδή λύση.png (23.57 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές

Ας προσαρμόσουμε την ιδέα του Αρχιμήδη στο σχήμα της άσκησης . Στην

θεωρώ σημείο

, τέτοιο

ώστε :

AH=2.8

, άρα

HB=7.2

. Τότε προφανώς

PH=x

και τα ισοσκελή τρίγωνα

POB , HPB

είναι όμοια ( έχουν ίση μια γωνία της βάσης ) , οπότε :

\dfrac{5}{x}=\dfrac{x}{7.2}

, συνεπώς : x=6

.

Μεγαλοφυές αλλά δύσκολα θα το σκέφτονταν κάποιος !

Ιστοσελίδα · #13

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 5:49 pm Στο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε την χορδή $AS=14/5$ . Η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{SAB}$ , τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο . Υπολογίστε την χορδή .

Ωραίο Θανάση!

: shape2.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

Ιστοσελίδα · #14

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2026 5:49 pm Στο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε την χορδή $AS=14/5$ . Η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{SAB}$ , τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο . Υπολογίστε την χορδή .

: shape-3.png (21.24 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές

Η άλλη χορδή

Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Re: Η άλλη χορδή

Μέλη σε σύνδεση