Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο

KARKAR · #1

: Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο.png (17.51 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, με

, θεωρούμε σημεία P , M

της

τέτοια ώστε : $DP=\dfrac{a}{3} , PM= \dfrac{a}{6}$ .

Γράφω το εξωτερικό ημικύκλιο διαμέτρου

και το εσωτερικό διαμέτρου

. Ονομάζω

το μέσο του μικρότερου

ημικυκλίου και

την τομή του κύκλου (N , ND )

με το εσωτερικό ημικύκλιο . Εξηγήστε γιατί είναι : TA=3TM

.

Dimessi · #2

Για come on.

Nikitas K. · #3

Λήψη ggb

Το τετράπλευρο

OTKN

είναι εγγράψιμο διότι το

\triangle NTK

είναι ορθογώνιο καθώς ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου.

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου υπολογίζουμε το

και (π.χ.) από το θεώρημα Στίουαρτ στο

\triangle OTK

βρίσκουμε τη σεβιανή

Την $\phi$ την γνωρίζουμε λόγω του

\triangle NTK

όπως και την $\theta$ λόγω του

\triangle ODA

οπότε γνωρίζουμε και

\cos\angle AOT = - \cos(\phi + \theta)

διότι η

\angle AOT

είναι παραπληρωματική της

\phi + \theta

Τώρα εφαρμόζοντας νόμο συνημιτόνων στο

\triangle OAT

βρίσκουμε και το

...

#4

Καλημέρα σε όλους. Δίχως να πειράξω το σχήμα του Θανάση

: Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο.png (17.51 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές

Έστω

.

Α(0,0), Β(2,0), C(2,1), D(0,1)

οπότε

P\left( {\frac{2}{3},1} \right),\;M\left( {1,1} \right),\;N\left( {\frac{1}{2},\;\frac{3}{2}} \right)

.

μέσο

οπότε

L\left( {\dfrac{4}{3},1} \right)

{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}

και

{\left( {x - \dfrac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \dfrac{4}{9}

Αφαιρώντας τις δύο έξισώσεις βρίσκουμε

5x-3y=1

Με χρήση υπολογιστή βρίσκω ότι το σύστημα δίνει σημείο τομής εντός του ορθογωνίου

T\left( {\dfrac{{16 - 3\sqrt 2 }}{{17}},\;\dfrac{{21 - 5\sqrt 2 }}{{17}}} \right)

\left( {TA} \right) = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{16 - 3\sqrt 2 }}{{17}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{21 - 5\sqrt 2 }}{{17}}} \right)}^2}} = 3 \cdot \dfrac{{\sqrt {5 - 2\sqrt 2 } }}{{17}}

\left( {TM} \right) = \sqrt {{{\left( {1 - \dfrac{{16 - 3\sqrt 2 }}{{17}}} \right)}^2} + {{\left( {1 - \dfrac{{21 - 5\sqrt 2 }}{{17}}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {5 - 2\sqrt 2 } }}{{17}}

#5

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 25, 2026 11:52 am Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο.pngΣτο ορθογώνιο , με , θεωρούμε σημεία της τέτοια ώστε : $DP=\dfrac{a}{3} , PM= \dfrac{a}{6}$ .

Γράφω το εξωτερικό ημικύκλιο διαμέτρου και το εσωτερικό διαμέτρου . Ονομάζω το μέσο του μικρότερου

ημικυκλίου και την τομή του κύκλου με το εσωτερικό ημικύκλιο . Εξηγήστε γιατί είναι : .

Παρόμοια με τη λύση του κ, Ρίζου Γιώργου

Επιλέγω αρχή συστήματος συντεταγμένων το μέσο

του

και $a = 12k\,\,,\,\,k > 0$ . Το σημείο

είναι η τομή των κύκλων:

N( - 3k,9k)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R = 3k\sqrt 2

καθώς και του

Z(2k,6k)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,r = 4k

. Έχουμε :

{(x + 3k)^2} + {(y - 9k)^2} = 18{k^2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{(x - 2k)^2} + {(y - 6k)^2} = 16{k^2}\,

με αφαίρεση κατά μέλη ,

5x - 3y + 24k = 0

που σε συνδυασμό με μια από τις εξισώσεις των δύο κύκλων προκύπτει (

θετική παράμετρος)

\boxed{T( - k\frac{{6(3\sqrt 2 + 1)}}{{17}}\,\,,\,\,k\frac{{126 - 30\sqrt 2 }}{{17}})}

: Απο διπλάσιο σε τριπλάσιο_new_new.png (28.13 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές

Από την άλλη μεριά η τετράδα ,

(D,M\backslash P,C)

είναι αρμονική και αν

DT = x\,\,,\,\,TM = y

από το Θ. διχοτόμων στο

\vartriangle TMD

.( Τα

υπολογίζονται και χωρίς τη χρήση συντεταγμένων , επιφύλαξη σε Ευκλείδεια λύση )

Υπολογίζουμε τα

AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x

, Για το λόγο

\dfrac{{AT}}{x}

ισχύει,

\dfrac{{AT}}{x} = \dfrac{3}{2}

κι αφού

προκύπτει ,

\boxed{\dfrac{{AT}}{{2y}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow AT = 3y}

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 25, 2026 11:52 am Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο.pngΣτο ορθογώνιο , με , θεωρούμε σημεία της τέτοια ώστε : $DP=\dfrac{a}{3} , PM= \dfrac{a}{6}$ .

Γράφω το εξωτερικό ημικύκλιο διαμέτρου και το εσωτερικό διαμέτρου . Ονομάζω το μέσο του μικρότερου

ημικυκλίου και την τομή του κύκλου με το εσωτερικό ημικύκλιο . Εξηγήστε γιατί είναι : .

Για ευκολία στις πράξεις θέτω a=2b

οπότε με τα δεδομένα του προβλήματος και

μέσον του

παίρνουμε

TN=CP=NP=PD= \dfrac{b}{3}

και

Από το ορθ.τρίγωνο

ETM

με Π.Θ

ET^2=2b^2-x^2

οπότε από θ.διαμέσου στο

\triangle ETA \Rightarrow y^2-x^2=2m^2(1)

Με θ.διαμέσου στο

\triangle PTN \Rightarrow n^2+ \dfrac{b^2}{9}=2x^2= \dfrac{b^2}{18} \Rightarrow 2n^2=4x^2- \dfrac{b^2}{9} (2)

Με θ.διαμέσου στο

\triangle DTN \Rightarrow m^2+ \dfrac{b^2}{9}=2n^2+ \dfrac{ \dfrac{4b^2}{9} }{2} \Rightarrow m^2=2n^2+ \dfrac{b^2}{9}

Με βάση τη (2)

παίρνουμε

m^2=4x^2

κι από την

(1) \Rightarrow y^2=9x^2 \Rightarrow \dfrac{y}{x} =3

: Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο.png (49 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

#7

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Κυρ Σεπ 27, 2026 2:37 pm
KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 25, 2026 11:52 am Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο.pngΣτο ορθογώνιο , με , θεωρούμε σημεία της τέτοια ώστε : $DP=\dfrac{a}{3} , PM= \dfrac{a}{6}$ .

Γράφω το εξωτερικό ημικύκλιο διαμέτρου και το εσωτερικό διαμέτρου . Ονομάζω το μέσο του μικρότερου

ημικυκλίου και την τομή του κύκλου με το εσωτερικό ημικύκλιο . Εξηγήστε γιατί είναι : .
Για ευκολία στις πράξεις θέτω οπότε με τα δεδομένα του προβλήματος και μέσον του

παίρνουμε $TN=CP=NP=PD= \dfrac{b}{3}$ και

Από το ορθ.τρίγωνο $ETM$ με Π.Θ $ET^2=2b^2-x^2$ οπότε από θ.διαμέσου στο $\triangle ETA \Rightarrow y^2-x^2=2m^2(1)$

Με θ.διαμέσου στο $\triangle PTN \Rightarrow n^2+ \dfrac{b^2}{9}=2x^2= \dfrac{b^2}{18} \Rightarrow 2n^2=4x^2- \dfrac{b^2}{9} (2)$

Με θ.διαμέσου στο $\triangle DTN \Rightarrow m^2+ \dfrac{b^2}{9}=2n^2+ \dfrac{ \dfrac{4b^2}{9} }{2} \Rightarrow m^2=2n^2+ \dfrac{b^2}{9}$

Με βάση τη παίρνουμε $m^2=4x^2$ κι από την $(1) \Rightarrow y^2=9x^2 \Rightarrow \dfrac{y}{x} =3$

Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο.png

Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο

Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο

Re: Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο

Re: Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο

Re: Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο

Re: Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο

Re: Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο

Re: Από το διπλάσιο στο τριπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση