Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

p_gianno · #21

: Στιγμιότυπο οθόνης ena trito 2026-10-01 202924.png (23.36 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές

Φέρω

CI \perp BC

. Εχουμε έτσι τρία όμοια ορθογώνια τρίγωνα

BAC, CAI, BCI

για τα οποία ό λόγος της μεγαλύτερης κάθετης προς την μικρότερη είναι

2:1

Θέτω

AB=2x

οπότε

BA=4x

και

AI=AC:2=x

συνεπώς

ΒΙ=ΑΒ+ΑΙ=4x+x=5x .

διχοτόμος της γωνίας

BCI

οπότε απο θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου παίρνουμε

BD:DI=BC:CI=2 \rightarrow BD =2DI

ή

BD=\frac{2}{3} BI=\frac{2}{3} \cdot 5x=\frac{10}{3}x

DA=BA-BD=4x-\frac{10}{3}x=\frac{12}{3}x - \frac{10}{3}x=\frac{2}{3}x=\frac{1}{3} 2x=\frac{1}{3} AC

Μιχάλης Τσουρακάκης · #22

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε

Με

μέσον της

είναι

BM=MA=AC=b

κι αν

DE//MC

είναι

προφανές ότι τα τρίγωνα

DEC,BMC

είναι όμοια.

Άρα

\dfrac{BC}{DC}= \dfrac{BM}{ED} \Rightarrow \dfrac{b \sqrt{5} }{ \sqrt{b^2+x^2} }= \dfrac{ b}{x \sqrt{2}} \Rightarrow b=3x

: Από διπλάσιο πάμε στο τριπλάσιο.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

Ιστοσελίδα · #23

: shape6.png (26.77 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές

Nikitas K. · #24

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Nikitas K. έγραψε: Πέμ Οκτ 01, 2026 12:39 am Έστω το ίχνος του σημείου επί της τότε με βάση τους συμβολισμούς του παρακάτω σχήματος:
Λήψη ggb

Ισχύει ότι:

\dfrac{\sqrt{5}b \cdot y}{2} = (\triangle BDC) = \dfrac{(2b-x)\cdot b}{2} \Leftrightarrow \sqrt{5}y = 2b-x\quad \color{blue} *

Nikitas K. έγραψε: Πέμ Οκτ 01, 2026 12:39 am Η υποτείνουσα του ορθογωνίου $\triangle ADC$ είναι και υποτείνουσα του ορθογωνίου $\triangle DNC$ οπότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει:

$2y^2 = x^2 + b^2$

\Leftrightarrow 2 (\sqrt{5}y)^2 = 5(x^2 + b^2) \overset{{\color{blue} *}}{\Leftrightarrow} 2(2b-x)^2 = 5x^2+5b^2\Leftrightarrow 2(4b^2 - 4bx + x^2) = 5x^2 + 5b^2 \Leftrightarrow 8b^2 - 8xb + 2x^2 = 5x^2 + 5b^2 \Leftrightarrow 3b^2 - 8xb - 3x^2 = 0 \Leftrightarrow (b - 3x) (3b + x) = 0 \Leftrightarrow b = 3x

KARKAR · #25

: συμμετροδιάμεσος.png (5.23 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

Η

είναι η συμμετροδιάμεσος , συνεπώς :

\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{b^2}{5b^2}=\dfrac{1}{5}

ο.ε.δ.

p_gianno · #26

: Στιγμιότυπο οθόνης απο 2 σε 3 2026-10-02 145134.png (42.6 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

DP \perp BC , PT \perp BA , DACP

εγγράψιμμο (απέναντι γωνίες ορθές) συνεπώς

\angle DAP =\angle DCP=45^0

άρα

\triangle PTA

ορθογώνιο ισοσκελές και επομένως

TP=TA (1)

Είναι

BT:TP=BA:AC=2

και λόγω

(1 )

BT=2TP=2TA (2)

Στο τρίγωνο

PTD

έχουμε

TP=2TD

ή

TA=2TD

δηλ

DA=TD

οπότε

ΒΑ=ΒΤ+ΤΑ=3ΤΑ=6DA

ή

2AC=6DA

ή

AC=3DA

Ιστοσελίδα · #27

: shape7.png (12.33 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές

#28

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 02, 2026 8:59 am συμμετροδιάμεσος.png Η είναι η συμμετροδιάμεσος , συνεπώς : $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{b^2}{5b^2}=\dfrac{1}{5}$ ο.ε.δ.

και η δεύτερη "φουρνιά" απαντήσεων πολύ ωραία, με πολύ φαντασία

.

Θα σταθώ όμως στην , πέραν πάσης φαντασίας απάντηση του, Θανάση που "είδε" ( Ισογωνιότητα γαρ)

την χρήση της συμμετροδιαμέσου. .

( Ας έγραφε όμως μια αράδα ακόμη ,

\boxed{\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{\dfrac{{AB}}{6}}}{{\dfrac{{AB}}{2}}} = \dfrac{1}{3}}

)

Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση