Μη ορατή παραγοντοποίηση

#1

Να δειχθεί ότι το

8u^3-6u+1

είναι παράγων του

32u^3(1-2u^2)^2\left(16(1-2u^2)^4-12(1-2u^2)^2+2(1-2u^2)+3\right)-1.

[Γνωρίζω ότι ισχύει αλλά δεν έχω απόδειξη. Δεν υπάρχει τυπογραφικό λάθος. Η προέλευση θα αναφερθεί αργότερα.]

Dimessi · #2

Από κινητό είμαι το έλυσα το σκασμενο.
Το πολυώνυμο

8u^3-6u+1

έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες

x_1\in (-1,-1/2),x_2\in (-1/2,1/2),x_3\in (1/2,1),

άρα θεωρωντας ρίζα

του

Q(u)=8u^3-6u+1

θέτουμε

q=\arccos d

με

το δεύτερο πολυώνυμο
και παίρνουμε

P(d)=0

λόγω της

1-2\cos ^2 y= -\cos (2y) .

Άρα κάθε ρίζα του

είναι και ρίζα του

οπότε γράφοντας

P(x)=R(x)Q(x)+\Delta (x),

και παίρνοντας τις κοινές ρίζες των P,Q,

έχουμε ότι είναι ρίζες και του

\Delta (x).

Όμως

\deg \Delta (x) < \deg Q=3,

άρα το πολυώνυμο

\Delta (x)

έχει

3>\deg \Delta (x)

ρίζες άρα

\Delta (x)=0.

#3

gbaloglou έγραψε: Τρί Σεπ 29, 2026 12:05 am Να δειχθεί ότι το $8u^3-6u+1$ είναι παράγων του $32u^3(1-2u^2)^2\left(16(1-2u^2)^4-12(1-2u^2)^2+2(1-2u^2)+3\right)-1.$

[Γνωρίζω ότι ισχύει αλλά δεν έχω απόδειξη. Δεν υπάρχει τυπογραφικό λάθος. Η προέλευση θα αναφερθεί αργότερα.]

Χωρίς τις πράξεις γιατί είναι αργά και είμαι κουρασμένος.

Έστω

ρίζα της

8u^3-6u+1

(*). Αρκεί να δείξουμε ότι είναι ρίζα της

32u^3(1-2u^2)^2\left(16(1-2u^2)^4-12(1-2u^2)^2+2(1-2u^2)+3\right)-1

Aπό την (*) είναι

u^3= \dfrac {6}{8}u-\dfrac {1}{8}

(**). Πολλαπλασιάζοντας επί

είναι

u^4= \dfrac {6}{8}u^2-\dfrac {1}{8}u

(***)

Τις υψηλότερες δυνάμεις του

θα τις γράψουμε (με χρήση των προηγούμενων) ως γραμμικό συνδυασμό των 1,u,u^2

. Θα δούμε ότι θα μας χρειαστούν μόνο οι

u^6, u^8

.

Πολλαπλασιάζοντας την (***) επί u^2

και μετά με χρήση των (**), (***) είναι

u^6= \dfrac {6}{8}u^4-\dfrac {1}{8}u^3= \dfrac {6}{8} \left ( \dfrac {6}{8}u^2-\dfrac {1}{8}u \right )- \dfrac {1}{8}\left ( \dfrac {6}{8}u-\dfrac {1}{8}\right) = \dfrac {36}{64}u^2-\dfrac {12}{64}u +\dfrac {12}{512}

.

Πολλαπλασιάζοντας αυτην επί u^2

είναι

u^8= \dfrac {36}{64}u^4-\dfrac {12}{64}u^3 +\dfrac {1}{64} u^2= \dfrac {36}{64}\left (\dfrac {6}{8}u^2-\dfrac {1}{8}u \right )-\dfrac {12}{64}\left ( \dfrac {6}{8}u-\dfrac {1}{8} \right) +\dfrac {1}{64} u^2 = \dfrac {217}{512}u^2-\dfrac {108}{512}u +\dfrac {12}{512}

Τώρα. η μεγάλη παρένθεση στην δοθείσα παράσταση ισούται (κάνω τις πράξεις)

256u^8-512u^6+336u^4-84u^2+9

που με χρήση των παραπάνω γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των 1,u,u^2

, ας πούμε

Au^2+u+C

. Το δοθέν λοιπόν είναι ίσο με

32u^3(1-2u^2)^2(Au^2+u+C)-1

Συνεχίζω με τις αναγωγές προς τα κάτω, με στόχο να φτάσω (που μπορώ) σε μορφή

Eu^2+Fu+G

. Aν είναι σωστή η άσκηση, που δεν το αμφιβάλλω, η τελευταία θα είναι

, και τελειώσαμε.

#4

Dimessi έγραψε: Τρί Σεπ 29, 2026 12:50 am
Το πολυώνυμο $8u^3-6u+1$ έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες
$x_1\in (-1,-1/2),x_2\in (-1/2,1/2),x_3\in (1/2,1),$

.
Σωστά. Με χρήση της

\cos 3 \theta = 4 \cos ^3\theta - 3 \cos \theta

οι ρίζες είναι

\cos 40^o, \, \cos 80^o, \cos 160^o

#5

Βασιζόμενος στις παραπάνω προσεγγίσεις (Dimessi και Μιχάλη Λάμπρου), και ... για να χαλαρώσουμε λίγο:

Αν

είναι ρίζα του

8u^3-6u+1

τότε είναι ρίζα αυτού και ο

2r^2-1

-- καθώς

8(2r^2-1)^3-6(2r^2-1)+1 = (8r^3-6r+1)^2-2(8r^3-6r+1)

-- οπότε

8(2r^2-1)^3=6(2r^2-1)-1

και προκύπτει η

32r^3(1-2r^2)^2\left(16(1-2r^2)^4-12(1-2r^2)^2+2(1-2r^2)+3\right)-1=

=32r^3(1-2r^2)^2\left(4(1-2r^2)+3\right)-1=

=16r^3\left(8(1-2r^2)^3+6(1-r^2)^2\right)-1=

=16r^3(24r^4-36r^2+13)-1=

=16r^3(-18r^2-3r+13)-1=

=(12r-2)(-18r^2-3r+13)-1=

=-27(8r^3-6r+1)=0,

είναι δηλαδή η τυχούσα ρίζα

του

8u^3-6u+1

ρίζα και του προς παραγοντοποίηση πολυωνύμου, ΟΕΔ

#6

Προέλευση: https://www.facebook.com/groups/1664980 ... 3816948649

[Το τερατώδες πολυώνυμο προήλθε από την έκφραση (μου) των a, b, c

συναρτήσει του

και του

u=sin10^0.

]

: david-vreken-nonagon.jpg (21.96 KiB) Προβλήθηκε 12 φορές

Μη ορατή παραγοντοποίηση

Μη ορατή παραγοντοποίηση

Re: Μη ορατή παραγοντοποίηση

Re: Μη ορατή παραγοντοποίηση

Re: Μη ορατή παραγοντοποίηση

Re: Μη ορατή παραγοντοποίηση

Re: Μη ορατή παραγοντοποίηση

Μέλη σε σύνδεση