"Κεντρικό" θέμα

KARKAR · #1

Ο κύκλος : x^2+y^2=4

, τέμνει τον άξονα x'x

στα σημεία A , B

. Από σημείο

της προέκτασης της

,

φέρω το νότιο εφαπτόμενο τμήμα

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου

του κύκλου

(A , S , P )

.

#2

Ας το δούμε -- με Αναλυτική -- λίγο γενικότερα (κύκλος x^2+y^2=R^2

), θέτοντας

A=(-R,0)

και

P=(p,0).

H εξίσωση της εφαπτομένης

είναι της μορφής

y=\lambda (x-p),

οπότε η

x^2+\lambda ^2(x-p)^2=R^2

έχει μία ακριβώς ρίζα (τετμημένη του

) και από μηδενισμό διακρίνουσας λαμβάνουμε

\lambda =\dfrac{R}{\sqrt{p^2-R^2}}

οπότε

S=\left(\dfrac{\lambda ^2p}{1+\lambda ^2}, -\dfrac{\sqrt{(1+\lambda ^2)^2R^2-\lambda ^4p^2}}{1+\lambda ^2}\right)=\left(\dfrac{R^2}{p}, -\dfrac{R\sqrt{p^2-R^2}}{p}\right).

To κέντρο

του κύκλου που διέρχεται από τα A, P, S

βρίσκεται τώρα ως τομή της μεσοκαθέτου της PA,

x=\dfrac{p-R}{2},

και της μεσοκαθέτου της PS,

η οποία διέρχεται από το μέσον της PS,

M=\left(\dfrac{p^2+R^2}{2p}, -\dfrac{R\sqrt{p^2-R^2}}{2p}\right),

και έχει συντελεστή διεύθυνσης

-\dfrac{1}{\lambda }=-\dfrac{\sqrt{p^2-R^2}}{R}.

Προκύπτει εύκολα η

K=\left(\dfrac{p^2-Rp}{2p},\dfrac{\sqrt{p^2-R^2}}{2}\right),

και από αυτήν την πληροφορία καταλήγουμε αργά ή γρήγορα στον γεωμετρικό τόπο του

που είναι η υπερβολή (δεξιός κλάδος)

x^2+Rx-y^2=0.

[Δεν το διερεύνησα περαιτέρω, όσον αφορά εστίες, ασυμπτώτους κλπ]