Η τρίτη πλευρά

KARKAR · #1

: Η τρίτη πλευρά.png (9.02 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

, ονομάζουμε B' , C'

τις προβολές των B , C

στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$ . Αν :

BB'+B'C'=CC'

, υπολογίστε την πλευρά

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 5:38 pm Η τρίτη πλευρά.pngΣτο τρίγωνο , με : , ονομάζουμε τις προβολές των

στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$ . Αν : $BB'+B'C'=CC'$ , υπολογίστε την πλευρά .

: H τρίτη.png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές

.

BB'= 5 \sin \theta,\, B'C'= AC'-AB'= 9\cos \theta- 5 \cos \theta, \, CC'= 9\sin \theta

. Οπότε η δοθείσα γράφεται

5 \sin \theta +( 9\cos \theta- 5 \cos \theta )= 9\sin \theta

. Iσοδύναμα

\sin \theta= \cos \theta

. Άρα

\theta = 45 ^o, \, A= 90 ^o

και άρα

BC = \sqrt {5^2+9^2} = \sqrt {106}

Εννοείται ότι γενικεύεται, χωρίς αλλαγή στην μέθοδο, δίνοντας

BC \sqrt {b^2+c^2}

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 5:38 pm Στο τρίγωνο , με : , ονομάζουμε τις προβολές των

στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$ . Αν : $BB'+B'C'=CC'$ , υπολογίστε την πλευρά .

: Η τρίτη.png (20.33 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές

.
Θέτουμε

BB'=x, \, AB'=y

. Τα ορθογώνια τρίγωνα

ABB', \, ACC'

είναι όμοια με λόγο ομοιότητας

5:9

. Άρα

CC'= \dfrac {9}{5}x, \, AC'= \dfrac {9}{5}y

. Η δοθείσα τώρα γράφεται

x+ \left (\dfrac {9}{5}y- y \right ) = \dfrac {9}{5}x

. Άρα

, που σημαίνει ότι το ορθογώνιο τρίγωνο ABB'

είναι ισοσκελές.

Άρα

\theta = 45^o, \, A = 90 ^o

, οπότε

BC= \sqrt {5^2 +9^2}= \sqrt {106}

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 5:38 pm Η τρίτη πλευρά.pngΣτο τρίγωνο , με : , ονομάζουμε τις προβολές των

στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$ . Αν : $BB'+B'C'=CC'$ , υπολογίστε την πλευρά .

Το τετράπλευρο

BB'C'\Pi

είναι ορθογώνιο. Από την υπόθεση ισχύει

CC'-BB'=B'C'=B\Pi ,PC'=CC', P\Pi =CC'-BB'=B'C'=B\Pi \Rightarrow \hat{PB\Pi }=45^{0}=\dfrac{1}{2}\hat{A}\Rightarrow \hat{A}=90\Rightarrow BC^{2}=5^{2}+9^{2}\Leftrightarrow BC=\sqrt{106}

#5

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 5:38 pm Η τρίτη πλευρά.pngΣτο τρίγωνο , με : , ονομάζουμε τις προβολές των

στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$ . Αν : $BB'+B'C'=CC'$ , υπολογίστε την πλευρά .

Αφού το $\vartriangle ABD$ είναι ισοσκελές θα είναι

AD = 5\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 4

. Από την ομοιότητα των

\vartriangle B'DA\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\vartriangle C'CA

: Η τρίτη πλευρά KARKAR.png (27.77 KiB) Προβλήθηκε 44 φορές

Ισχύουν :

AB' = 5k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,B'C'\,\,\, = 4k\,\,\,,k > 0

και

\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{9}

. Επειδή (υπόθεση )

\boxed{x + 4k = y \Rightarrow x + 4k = \dfrac{{9x}}{5} \Rightarrow x = 5k}

Η τελευταία ισότητα μας εξασφαλίζει ότι το $\vartriangle ABC$ είναι ορθογώνιο , άρα

\boxed{BC = \sqrt {81 + 25} = \sqrt {106} }

Η τρίτη πλευρά

Η τρίτη πλευρά

Re: Η τρίτη πλευρά

Re: Η τρίτη πλευρά

Re: Η τρίτη πλευρά

Re: Η τρίτη πλευρά

Μέλη σε σύνδεση