Εκκεντρικές κατασκευές 10

KARKAR · #1

: Εκκεντρικές κατασκευές 10.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

Κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο ABC

σαν αυτό του σχήματος , με την επιπλέον πληροφορία ,

ότι τα τμήματα

x , y , z ,

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 8:04 pm Εκκεντρικές κατασκευές 10.pngΚατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο σαν αυτό του σχήματος , με την επιπλέον πληροφορία ,

ότι τα τμήματα $x , y , z ,$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

: Κατ 10.png (24.47 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές

.
Μια ειδική περίπτωση τέτοιου τριγώνου έχει

x=3,\,y=5,\,z=7

, οπότε

AB=AC=7,\, BC=11

, αλλά παρακάτω θα δούμε την γενική.

Γράφουμε

x=y-a, \, z=y+a

, οπότε ουσιαστικά ζητάμε το εικονιζόμενο τρίγωνο το οποίο έχει

BC=x+(z+1)=2y+1

και

ST=(z+1)-x=2a+1

.

To ύψος από το Πυθαγόρειο με δύο διαφορετικούς τρόπους είναι

AB^2-BM^2=h^2= AS^2-SM^2

. Άρα

(y+a)^2- \left ( \dfrac {2y+1}{2} \right )^2=h^2= y^2- \left (\dfrac {2a+1}{2} \right )^2

.

Λύνοντας θα βρούμε

\boxed {y=\dfrac {1}{2}\left (2a-1+\sqrt {12a^2+1} \right )}

Η κατασκευή τώρα είναι άμεση, αρχίζοντας από οποιοδήποτε a>0

. Π.χ. για a=2

παίρνουμε το τρίγωνο που περιέγραψα στην αρχή.

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 8:04 pm Εκκεντρικές κατασκευές 10.pngΚατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο σαν αυτό του σχήματος , με την επιπλέον πληροφορία ,

ότι τα τμήματα $x , y , z ,$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Έστω

y=x+w, z=x+2w.

Επειδή το

είναι ισοσκελές, θα είναι

AB^2=AS^2+BS\cdot SC.

{(x + 2w)^2} = {(x + w)^2} + x(x + 2w + 1) \Leftrightarrow w = \frac{{\sqrt {3({x^2} + x)} }}{3}

Ξεκινώντας λοιπόν από μία τιμή του

βρίσκουμε το

και στη συνέχεια τα y,z.

Για

προκύπτει το
τρίγωνο που γράφει πιο πάνω ο Μιχάλης.

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 8:04 pm Εκκεντρικές κατασκευές 10.pngΚατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο σαν αυτό του σχήματος , με την επιπλέον πληροφορία ,

ότι τα τμήματα $x , y , z ,$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Αρκεί να κατασκευάσω π.χ. το $\vartriangle ABS$ . Θεωρώ την πλευρά του

BS = x\,\,,

και τη διαφορά της προόδου με k > 0

.

Θα είναι έτσι :

y = x + k\,\,\,,\,\,z = x + 2k\,\,\,( * )

. Ας είναι

το μέσο του

και

του

με

ST = 1

.

Επειδή

\boxed{BC = x + 1 + z \Rightarrow BM = x + k + \frac{1}{2} \Rightarrow SM = k + \dfrac{1}{2}}\,\,\,(1)

.

: Εκεντρικές κατασκευές 10.png (13.94 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές

Από το Π. Θ. στα ,

\vartriangle MAS\,\,,\,\,\vartriangle MAB

εκφράζω το AM = h

κι έχω :

{h^2} = {(x + k)^2} - {(k + \dfrac{1}{2})^2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{h^2} = {(x + 2k)^2} - {(x + k + \dfrac{1}{2})^2}

με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει :

\boxed{k = \dfrac{{\sqrt 3 \sqrt {{x^2} + x} }}{3}}

π. χ. για

\boxed{x = 3\, \Rightarrow k = 2}

#5

george visvikis έγραψε: Πέμ Οκτ 15, 2026 8:17 am
KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 8:04 pm Εκκεντρικές κατασκευές 10.pngΚατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο σαν αυτό του σχήματος , με την επιπλέον πληροφορία ,

ότι τα τμήματα $x , y , z ,$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .
Έστω $y=x+w, z=x+2w.$ Επειδή το είναι ισοσκελές, θα είναι $AB^2=AS^2+BS\cdot SC.$
${(x + 2w)^2} = {(x + w)^2} + x(x + 2w + 1) \Leftrightarrow w = \frac{{\sqrt {3({x^2} + x)} }}{3}$
Ξεκινώντας λοιπόν από μία τιμή του βρίσκουμε το και στη συνέχεια τα Για προκύπτει το
τρίγωνο που γράφει πιο πάνω ο Μιχάλης.

Θα γράψω δυο λόγια γα την άριστη αντιμετώπιση από τον φίλο Γ Βισβίκη

: Εκεντρικές κατασκευές 10_Λήμμα.png (17.2 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές

Παρατήρηση .

Από τη δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο , (A,AB)

$SB \cdot SC = A{B^2} - A{S^2}$

Εκκεντρικές κατασκευές 10

Εκκεντρικές κατασκευές 10

Re: Εκκεντρικές κατασκευές 10

Re: Εκκεντρικές κατασκευές 10

Re: Εκκεντρικές κατασκευές 10

Re: Εκκεντρικές κατασκευές 10

Μέλη σε σύνδεση