Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο

giannimani · #1

Στο εσωτερικό ενός παραλληλογράμμου ABCD

υπάρχει σημείο

τέτοιο, ώστε $\angle PAD = \angle PCD$ .
Να αποδείξετε ότι

\angle PBC = \angle PDC

.

: paral_equal_angles.png (24.75 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές

Dimessi · #2

giannimani έγραψε: Κυρ Οκτ 25, 2026 12:59 am Στο εσωτερικό ενός παραλληλογράμμου υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε $\angle PAD = \angle PCD$ .
Να αποδείξετε ότι $\angle PBC = \angle PDC$ .
paral_equal_angles.png

$\bullet$ Ο κύκλος (P,PA)

επανατέμνει την ευθεία

στο σημείο

και είναι

\angle DXP=\angle PAD=\angle DCP \Longrightarrow C,P,D,X

ομοκυκλικά έστω σε κύκλο

(\gamma).

Η ευθεία

επανατέμνει τον κύκλο $(\gamma)$ στο σημείο

και από τις χορδές

DX \parallel CQ

του κύκλου $(\gamma)$ είναι

QX=CD=AB \overset{AX \parallel QB}\Longrightarrow ABQX

ισοσκελές τραπέζιο. Το

ανήκει στην μεσοκάθετη του

κι επειδή

ABQX

ισοσκελές τραπέζιο το

ανήκει στην κοινή μεσοκάθετη των

και

και συνεπώς

\boxed{\angle PDC\overset{Q \in (PDC)}=\angle PQC\equiv \angle PQB\overset{PQ=PB}=\angle PBC}

#3

giannimani έγραψε: Κυρ Οκτ 25, 2026 12:59 am Στο εσωτερικό ενός παραλληλογράμμου υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε $\angle PAD = \angle PCD$ .
Να αποδείξετε ότι $\angle PBC = \angle PDC$ .
paral_equal_angles.png

Σημειώνω με $\theta$ τις ίσες γωνίες που δίνονται και θα δείξω ότι $\varphi=\omega.$

: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.png (21.63 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές

Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο

PDCT.

Είναι

PT||=DC||=AB,

άρα και το ABTP

είναι παραλληλόγραμμο.

Επομένως τα τρίγωνα

BTC, APD

είναι ίσα και

T\widehat BC=\theta=T\widehat PC.

Άρα το

είναι εγγράψιμο, οπότε

\boxed{\varphi=\omega}

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: Κυρ Οκτ 25, 2026 11:43 am
giannimani έγραψε: Κυρ Οκτ 25, 2026 12:59 am Στο εσωτερικό ενός παραλληλογράμμου υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε $\angle PAD = \angle PCD$ .
Να αποδείξετε ότι $\angle PBC = \angle PDC$ .
paral_equal_angles.png
Σημειώνω με $\theta$ τις ίσες γωνίες που δίνονται και θα δείξω ότι $\varphi=\omega.$
Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.png
Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο $PDCT.$ Είναι $PT||=DC||=AB,$ άρα και το είναι παραλληλόγραμμο.

Επομένως τα τρίγωνα $BTC, APD$ είναι ίσα και $T\widehat BC=\theta=T\widehat PC.$ Άρα το είναι εγγράψιμο, οπότε $\boxed{\varphi=\omega}$

KARKAR · #5

Παρόμοιο λήμμα του Κ . Βήττα : εδώ

#6

Το έχουμε ξαναδεί και Εδώ.

Κώστας Βήττας

p_gianno · #7

giannimani έγραψε: Κυρ Οκτ 25, 2026 12:59 am Στο εσωτερικό ενός παραλληλογράμμου υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε $\angle PAD = \angle PCD$ .
Να αποδείξετε ότι $\angle PBC = \angle PDC$ .
paral_equal_angles.png

: Στιγμιότυπο οθόνης 2026-10-26 ισες γωνίες β 083319.jpeg (52.11 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές

ACHN

εγγράψιμο (

\angle HAN = \angle NCH

και βαίνουν στο ίδιο τόξο).

Συνεπώς επειδή

\angle CAH = \angle CNH

και

\angle ACN = \angle AHN

έχουμε

\boxed { \triangle APC \sim \triangle HPN}

\qquad

\qquad (1)

Επίσης από

\angle ABC = \angle CDA

και

\angle BAC = \angle ACH = \angle HND

έχουμε

\boxed {\triangle ABC \sim \triangle NDH }

\qquad (2)

Οι

"προσθέτοντας" τα σχήματα κατά μέλη διασφαλίζουν ότι

ABCP \sim NDHP

συνεπώς και τα αντίστοιχά τους τρίγωνα θα είναι όμοια. Έτσι

\triangle BPC \sim \triangle DPH \rightarrow \boxed{ \angle PBC=\angle PDH }

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

giannimani έγραψε: Κυρ Οκτ 25, 2026 12:59 am Στο εσωτερικό ενός παραλληλογράμμου υπάρχει σημείο τέτοιο, ώστε $\angle PAD = \angle PCD$ .
Να αποδείξετε ότι $\angle PBC = \angle PDC$ .
paral_equal_angles.png

Ο κύκλος

τέμνει την

στο

και την

στο

Θεωρούμε ακόμη τον κύκλο

(A,P,D)

που η

τέμνει στο

Επειδή η κοινή τους χορδή

φαίνεται από τα A,Z

υπό ίσες γωνίες οι κύκλοι αυτοί

είναι ίσοι και λόγω ισότητας των μπλε γωνιών θα είναι AP=PQ

Επιπλέον, είναι

AB=QZ

και

\angle BAP= \angle PCB= \angle PQZ

,άρα

\triangle BAP= \triangle PQZ \Rightarrow PB=PZ\Rightarrow \angle PBZ= \angle PZB= \angle PDC

και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο.png (57.96 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές

Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο

Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο

Re: Ίσες γωνίες σε παραλληλόγραμμο

Μέλη σε σύνδεση