Ευκλείδεια τριγωνομετρία

KARKAR · #1

: Ευκλείδεια τριγωνομετρία.png (11.33 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, το

είναι το έγκεντρο και το

το μέσο της υποτείνουσας .

Αν : EC=EM

, υπολογίστε την διαφορά :

\cos B - \sin B

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2026 8:33 am Ευκλείδεια τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι το έγκεντρο και το το μέσο της υποτείνουσας .

Αν : , υπολογίστε την διαφορά : $\cos B - \sin B$ .

Θ. διαμέσων στο BEC,

E{C^2} + E{B^2} = 2E{M^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{EC = EM}

\boxed{EB^2-EC^2=\frac{a^2}{2}}

: Ευκλείδεια τριγωνομετρία.png (14.15 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές

Νόμος ημιτόνων στο BEC,

\dfrac{{EC}}{{\sin \dfrac{B}{2}}} = \dfrac{{EB}}{{\sin \dfrac{C}{2}}} = a\sqrt 2,

απ' όπου

E{B^2} = 2{a^2}{\sin ^2}\dfrac{C}{2} = {a^2}(1 - \cos C) = {a^2}(1 - \sin B)

και

E{C^2} = 2{a^2}{\sin ^2}\dfrac{B}{2} = {a^2}(1 - \cos B)

Με αφαίρεση κατά μέλη και από την (1),

\dfrac{{{a^2}}}{2} = {a^2}(1 - \sin B - 1 + \cos B) \Leftrightarrow

\boxed{\cos B-\sin B=\frac{1}{2}}

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2026 8:33 am Ευκλείδεια τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι το έγκεντρο και το το μέσο της υποτείνουσας .

Αν : , υπολογίστε την διαφορά : $\cos B - \sin B$ .

: Ευκ τριγ.png (18.98 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές

.
Το κάνω με Αναλυτική Γεωμετρία, αλλά η λύση μπορεί πολύ εύκολα να προσαρμοστεί σε Ευκλείδεια. Πάντως με Αναλυτική, είναι ρουτίνα.

Με αρχή των αξόνων το

, είναι

B(c,0), \, C(0,b), \, M\left ( \dfrac {c}{2}, \dfrac {b}{2}\right)

και

E\left (r,r)\right)

, όπου

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, εδώ

r= \dfrac {1}{2}(b+c-a)

.

H υπόθεση EC=EM

γράφεται

r^2+(r-b)^2= \left ( r-\dfrac {c}{2} \right) ^2+ \left ( r-\dfrac {b}{2} \right) ^2

.

Μετά τις πράξεις είναι

3b^2-c^2=4r(b-c) = 2(b+c-a)(b-c)

και άρα

2a(c-b)=b^2+c^2=a^2

, ισοδύναμα

\boxed {a=2(c-b)}

(*).

Είναι τότε

\boxed {\cos B - \sin B=\dfrac {c}{a}- \dfrac {b}{a} = ^{(*)} \dfrac {1}{2}}

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2026 8:33 am Ευκλείδεια τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι το έγκεντρο και το το μέσο της υποτείνουσας .

Αν : , υπολογίστε την διαφορά : $\cos B - \sin B$ .

: Ευκλείδεια τριγωνομετρία_new.png (15.12 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές

Το τετράγωνο ADEZ

έχει μήκος πλευράς που θεωρείται μονάδα μέτρησης

\boxed{\cos B - \sin B = \frac{{AB}}{{BC}} - \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{3y + 1 - y - 1}}{{4y}} = \frac{1}{2}}

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Doloros έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2026 6:26 pm
KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2026 8:33 am Ευκλείδεια τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι το έγκεντρο και το το μέσο της υποτείνουσας .

Αν : , υπολογίστε την διαφορά : $\cos B - \sin B$ .
Ευκλείδεια τριγωνομετρία_new.png

Το τετράγωνο έχει μήκος πλευράς που θεωρείται μονάδα μέτρησης

$\boxed{\cos B - \sin B = \frac{{AB}}{{BC}} - \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{3y + 1 - y - 1}}{{4y}} = \frac{1}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2026 8:33 am Ευκλείδεια τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι το έγκεντρο και το το μέσο της υποτείνουσας .

Αν : , υπολογίστε την διαφορά : $\cos B - \sin B$ .

Έστω

(ABC)=S

και

D=cosB-sinB

D^2=1-2cosBsinB=1-2 \dfrac{c}{a}. \dfrac{b}{a}=1- \dfrac{4S}{a^2}

Αλλά

S=BN.NC= \dfrac{3a}{4} . \dfrac{a}{4}= \dfrac{3a^2}{16} \Rightarrow \dfrac{4S}{a^2} = \dfrac{3}{4}

Άρα

D^2=1-\dfrac{3}{4} =\dfrac{1}{4} \Rightarrow D= \dfrac{1}{2}

: Ευκλείδεια Τριγωνομετρία.png (19.53 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές

Ευκλείδεια τριγωνομετρία

Ευκλείδεια τριγωνομετρία

Re: Ευκλείδεια τριγωνομετρία

Re: Ευκλείδεια τριγωνομετρία

Re: Ευκλείδεια τριγωνομετρία

Re: Ευκλείδεια τριγωνομετρία

Re: Ευκλείδεια τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση