Τρίγωνο ισοσκελές

#1

.

: Τρίγωνο Ισοσκελές.png (21.58 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές

.
$\vartriangle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα $A\,\,,\,\,B$ τέμνονται στο

.

Δια του

φέρνουμε ευθεία , (g)

παράλληλη στην

και τέμνει την

στο

.

Δείξετε ότι το , $\vartriangle TAB$ είναι ισοσκελές .

Δεκτές όλες οι λύσεις. Απαράδεκτες οι με τη βοήθεια ,τεχνικής νοημοσύνης .

#2

Doloros έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2026 11:14 am .
Τρίγωνο Ισοσκελές.png
.
$\vartriangle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα $A\,\,,\,\,B$ τέμνονται στο .

Δια του φέρνουμε ευθεία , παράλληλη στην και τέμνει την στο .

Δείξετε ότι το , $\vartriangle TAB$ είναι ισοσκελές .

: Τριγ ισοσκ.png (19.91 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές

.

\widehat {T_2}= \widehat {A}

(παραλληλία) και

\widehat {A}= \widehat {B_2}

(χορδή και εφαπτομένη), άρα

\widehat {Τ_2}=\widehat {Β_2}

, που σημαίνει ότι το TBSC

είναι εγγράψιμο.

Tώρα

\widehat {B_1}= \widehat {T_1}

(παραλληλία) και

\widehat {T_1}= \widehat {C_1}

(εγγράψιμο TBSC

) και

\widehat {C_1}= \widehat {A}

(χορδή και εφαπτομένη). Έπεται

\widehat {B_1}= \widehat {Α}

, από όπου το ζητούμενο.

giannimani · #3

Αν και η προηγούμενη λύση πιο σύντομη και πιο κομψή, δίνω και μια δεύτερη περισσότερο για το λήμμα
του Αρχιμήδη.

Έστω ότι η ευθεία

τέμνει τον κύκλο στα σημεία

και

.
Σύμφωνα με ένα από τα λήμματα του Αρχιμήδη (*)

DT=ET

, δηλαδή, το

είναι το μέσο της χορδής

. Επομένως

(OT)\bot DE\; (1)

Συμβολίζουμε επίσης με

το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα

και

.
Τότε, η διακεντρική ευθεία

(PO)

είναι κάθετη στην

στο μέσο της, έστω

, επομένως
και στην παράλληλό της

στο

. Δηλαδή, τα σημεία

,

και

ανήκουν στην ίδια
ευθεία και

υψος και διάμεσος του $\triangle TAB$ , επομένως το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

: trig_isos_sol.png (69.87 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές

Απόδειξη (λήμματος Αρχιμήδη) Έστω

το κέντρο του κύκλου $\omega$ . Τότε

\angle BOC =2A

και

\angle BOS=\angle COS=A

.
Εφόσον είναι και

\angle CTS=A \; (ST\parallel AB

, τα σημεία

,

ανήκουν
στον ίδιο κύκλο (

\angle CTS=\angle COS=A)

. Επειδή

\angle OCS=90^{\circ}

(η εφαπτομένη είναι κάθετη
στην ακτίνα στο σημείο επαφής), τότε και

\angle OTS=90^{\circ}

. Κάθε διάμετρος που είναι κάθετος
σε μία χορδή, τη διχοτομεί. Επομένως, η

διχοτομεί τη χορδή

του κύκλου $\omega$ , δηλαδή,
DT=TE

.

Dimessi · #4

Έστω

η τομή της μεσοκάθετης του

με την πλευρά

τότε

\vartriangle TAB \sim \vartriangle BSC

οπότε έχουμε σπειροειδή ομοιότητα $\Phi$ κέντρου

Επομένως

\vartriangle ST'B \sim \vartriangle CBA \Longrightarrow \angle BT'S=\angle T'AB=\angle T'BA \Longrightarrow ST'\parallel AB \Longrightarrow T'\equiv T.

#5

Doloros έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2026 11:14 am .
Τρίγωνο Ισοσκελές.png
.
$\vartriangle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα $A\,\,,\,\,B$ τέμνονται στο .

Δια του φέρνουμε ευθεία , παράλληλη στην και τέμνει την στο .

Δείξετε ότι το , $\vartriangle TAB$ είναι ισοσκελές .

Δεκτές όλες οι λύσεις. Απαράδεκτες οι με τη βοήθεια ,τεχνικής νοημοσύνης .

Πρώτα – πρώτα , Οι ενδεδειγμένες λύσεις είναι σαν αυτή, πιο πάνω, του Κ. Λάμπρου που τις καταλαβαίνουν όλα τα παιδιά .

Ας είναι , K,L

τα σημεία τομής της ευθείας (g)

με τον κύκλο, που ας πούμε , $O\,\,$ το κέντρο του .

Το τετράπλευρο ,

BKCL

είναι αρμονικό ( Τσίντσιφα σελ. 265

, Διαγωνισμοί στα μαθηματικά

{\rm B}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\Gamma

Λυκείου εκδόσεις Σαββάλας σελ. 109

)

: Τρίγωνο Ισοσκελές_Λύση.png (34.99 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές

Η δέσμη :

(AL,AK\backslash AC,AB)

είναι αρμονική και η

(g)//AB

, συνεπώς :

\boxed{LT = TK}

. Άμεση συνέπεια , η

είναι το απόστημα στην

KL\,\,.

Έτσι τώρα η ,

είναι μεσοκάθετος στη χορδή

και ισοδύναμα το $\vartriangle TAB$ ισοσκελές .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Doloros έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2026 11:14 am .
Τρίγωνο Ισοσκελές.png
.
$\vartriangle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα $A\,\,,\,\,B$ τέμνονται στο .

Δια του φέρνουμε ευθεία , παράλληλη στην και τέμνει την στο .

Δείξετε ότι το , $\vartriangle TAB$ είναι ισοσκελές .

Δεκτές όλες οι λύσεις. Απαράδεκτες οι με τη βοήθεια ,τεχνικής νοημοσύνης .

Αγνοούμε προσωρινά την

κι από το κέντρο

του κύκλου θεωρούμε την κάθετη

στην εκ του

παράλληλη προς την

που θα είναι μεσοκάθετη της

,οπότε

Θα αποδείξουμε ότι η

περνά από το

Λόγω του εγγράψιμμου

CTOB

όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες έστω $\theta$ ,

άρα και

T_{1} = \theta \Rightarrow \angle CTO+ \theta =180^0 \Rightarrow A,T,C

συνευθειακά

: Τρίγωνο ισοσκελές.png (35.49 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές

#7

Doloros έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2026 11:14 am .
Τρίγωνο Ισοσκελές.png
.
$\vartriangle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα $A\,\,,\,\,B$ τέμνονται στο .

Δια του φέρνουμε ευθεία , παράλληλη στην και τέμνει την στο .

Δείξετε ότι το , $\vartriangle TAB$ είναι ισοσκελές .

Δεκτές όλες οι λύσεις. Απαράδεκτες οι με τη βοήθεια ,τεχνικής νοημοσύνης .

: Τρίγωνο ισοσκελές.png (26.86 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές

Έστω

το κέντρο του κύκλου. Λόγω της παραλληλίας και της σχέσης επίκεντρης-εγγεγραμμένης, όλες οι πράσινες γωνίες

είναι ίσες. Άρα το OTCS

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου OS,

δηλαδή η

είναι μεσοκάθετη στην AB,

γεγονός που

αποδεικνύει το ζητούμενο.

Τρίγωνο ισοσκελές

Τρίγωνο ισοσκελές

Re: Τρίγωνο ισοσκελές

Re: Τρίγωνο ισοσκελές

Re: Τρίγωνο ισοσκελές

Re: Τρίγωνο ισοσκελές

Re: Τρίγωνο ισοσκελές

Re: Τρίγωνο ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση