Τα ξ του ΘΜΤ και ΘΜΤΟΛ σε κοίλη συνάρτηση

mathxl · #1

Αν ξ η θέση της μέσης τιμής της κοίλης f στο [α,b],τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f\left( \xi \right) = \frac{{\int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} }}{{b - a}}}$
και c η θέση της μέσης τιμής της παραγώγου της f, τέτοιο ώστε $\displaystyle{f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}}$
Τότε, ισχύει $\displaystyle{\left( {\frac{{a + b}}{2} - \xi } \right) \cdot f'\left( c \right) < 0}$ ;;

Η κοίλη σύμφωνα με τον ορισμό στο σχολικό βιβλίο
Νομίζω βρήκα αντιπαραδειγμα φ(χ)=-χ^2 στο [0,1], ίσως ισχύει με αντίστροφη φορά; Πάω για ποτάκι

Ιστοσελίδα · #2

Βασίλη παίρνοντας την ημχ στο [0,π/2] κατέληξα στον ίδιο συμπέρασμα με την -x^2

mathxl · #3

Το αλλάζω λοιπόν

γιατί μοιάζει να ισχύει η αντίστροφη φορά (απότι βλέπω στις σημειώσεις μου, είχα ξεχάσει να αλλάξω φορά...). Το θέμα είναι συγγενής γνωστής ανισότητας Ποντίου

Αν ξ η θέση της μέσης τιμής της κοίλης f στο [α,b],τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f\left( \xi \right) = \frac{{\int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} }}{{b - a}}}$
και c η θέση της μέσης τιμής της παραγώγου της f, τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}}$
, να δείξετε ότι
$\displaystyle{\left( {\frac{{a + b}}{2} - \xi } \right) \cdot f'\left( c \right) \ge 0}$

AlexandrosG · #4

mathxl έγραψε:Το αλλάζω λοιπόν γιατί μοιάζει να ισχύει η αντίστροφη φορά (απότι βλέπω στις σημειώσεις μου, είχα ξεχάσει να αλλάξω φορά...). Το θέμα είναι συγγενής γνωστής ανισότητας Ποντίου

Αν ξ η θέση της μέσης τιμής της κοίλης f στο [α,b],τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f\left( \xi \right) = \frac{{\int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} }}{{b - a}}}$
και c η θέση της μέσης τιμής της παραγώγου της f, τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}}$
, να δείξετε ότι
$\displaystyle{\left( {\frac{{a + b}}{2} - \xi } \right) \cdot f'\left( c \right) \ge 0}$

Βάζω σαν ερώτημα 2 το εξής παραπλήσιο

Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\left( {\frac{{a + b}}{2} - \xi } \right) \cdot f'(\xi) \geq 0}}$

Μετά από πολύ κόπο δεν κατάφερα να λύσω το αρχικό. Ίσως αυτό να βοηθάει.

#5

έστω f(b)>f(a) [*]
Το ξ του ΘΜΤολ είναι ρίζα της $\displaystyle{g(x)=(b-a)f(x)-\int_{a}^{b}{f(t)dt}}$ και μάλιστα μοναδική
δείχνουμε ότι g(a)<0 λόγω κοίλης και [*]
g(a+b/2)>0 άσκηση 7Β12 σελ 229 (ανάποδες ανισότητες για κυρτή) εδώ
άρα το ξ<(a+b)/2 από μοναδικότητα και Bolzano

Christos.N · #6

Η

είναι κυρτή στο $[\alpha,\beta]$ άρα ισχύει ότι: $\displaystyle{f(x) \ge \frac{{f(\beta ) - f(\alpha )}}{{\beta - \alpha }}(x - \alpha ) + f(\alpha )}$ έπεται ότι:
$\displaystyle{\int\limits_\alpha ^\beta {f(x)} dx > \frac{{f(\beta ) - f(\alpha )}}{{\beta - \alpha }}\int\limits_\alpha ^\beta {(x - \alpha )} dx + f(\alpha )\int\limits_\alpha ^\beta {dx} }$ ...πράξεις.. $\displaystyle{f(\xi ) > \frac{{f(\beta ) + f(\alpha )}}{2}}$
.
Έστωσαν τα διαστήματα $\displaystyle{[\alpha ,\xi ]}$ και $\displaystyle{[\xi ,\beta ]}$

Η

είναι συνεχής σε αυτά και παραγωγίσιμη στα εσωτερικά αυτών, άρα απο το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχουν τουλάχιστον ένα $\displaystyle{{\xi _1} \in (\alpha ,\xi )}$
και ένα $\displaystyle{{\xi _2} \in (\xi ,\beta )}$
όπου $\displaystyle{{\xi _1} < {\xi _2}}$
και η

γνησίως φθίνουσα άρα $\displaystyle{f'({\xi _1}) > f'({\xi _2}) \Rightarrow \frac{{f(\xi ) - f(\alpha )}}{{\xi - \alpha }} > \frac{{f(\beta ) - f(\xi )}}{{\beta - \xi }}}$ ...πράξεις.. $\displaystyle{f(\xi ) + \frac{{\alpha f(\beta ) - \beta f(\alpha )}}{{\beta - \alpha }} < \xi f'(c)}$
Συνδυάζοντας τις $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \frac{{f(\beta ) + f(\alpha )}}{2} < f(\xi ) \\ f(\xi ) + \frac{{\alpha f(\beta ) - \beta f(\alpha )}}{{\beta - \alpha }} < \xi f'(c) \\ \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{f(\beta ) + f(\alpha )}}{2} + \frac{{\alpha f(\beta ) - \beta f(\alpha )}}{{\beta - \alpha }} < \xi f'(c)}$ ...πράξεις.. $\displaystyle{\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} - \xi } \right)f'(c) < 0}$

mathxl · #7

Καλημέρα σας
Να ευχαριστήσω τους συναδέλφους Αλέξανδρο, Ροδόλφο και Χρήστο για τις απαντήσεις τους.
Χρήστο δεν ξέρω αν ήθελες να δώσεις κάτι νέο αλλά έχεις γράψει για κυρτή και όχι για κοίλη (δεν έχει σημασία όμως αφού ομοια δουλεύουμε για κοίλη). Ωστόσο, η λύση σου είναι αυτή που ακολούθησα και εγώ για να φτιάξω το θέμα. Στην αρχή μπέρδεψα την φορά και επειδή δεν ήμουνα σίγουρος για το γινόμενο στο οποίο είχα καταλήξει, το έβαλα στα γενικά θέματα! Επειδή το έβαλα και στο μαθλινκσ είδα ότι μου διέφυγε στην λύση μου το "=" όπως συνέβη και στην δική σου λύση αλλά και στου Ροδόλφου.
Στην λύση του Ροδόλφου μπορούμε να το αποφύγουμε ολοκληρώνοντας τις περιπτώσεις
f(b)<f(a) και f(b)=f(a) (περίπτωση στην οποία ισχύει η ισότητα)
Ωστόσο δεν μπορώ να βρω, που χάνω στην δική μου λύση (άρα και στου Χρήστου) την ισότητα... ίσως πρέπει να διακρίνουμε τις περιπτώσεις f(α)=f(β) και f(α) διάφορο f(β)

Να πω ότι το θέμα δημιουργήθηκε στην προσπάθεια μου για δημιουργία μιας ακόμη λύσης, που να μην πατάει στην χορδή για το θέμα εδώ viewtopic.php?f=54&t=5995.
Όπως φαίνεται και από την λύση που παρέθεσε ο Χρήστος, η ανισότητα είναι ισοδύναμη μέρους της γνωστής ανισότητας του Χανταμαρίδη εδώ viewtopic.php?f=61&t=1202

mathxl · #8

mathxl έγραψε:Αν ξ η θέση της μέσης τιμής της κοίλης f στο [α,b],τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f\left( \xi \right) = \frac{{\int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} }}{{b - a}}}$
και c η θέση της μέσης τιμής της παραγώγου της f, τέτοιο ώστε $\displaystyle{f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}}$
Τότε, ισχύει $\displaystyle{\left( {\frac{{a + b}}{2} - \xi } \right) \cdot f'\left( c \right) < 0}$ ;;

Η κοίλη σύμφωνα με τον ορισμό στο σχολικό βιβλίο
Νομίζω βρήκα αντιπαραδειγμα φ(χ)=-χ^2 στο [0,1], ίσως ισχύει με αντίστροφη φορά; Πάω για ποτάκι

Εδώ, αλλά και

polysot έγραψε:Βασίλη παίρνοντας την ημχ στο [0,π/2] κατέληξα στον ίδιο συμπέρασμα με την

εδώ χρησιμοποιήθηκε αντιπαράδειγμα η -χ^2 και η ημχ λολ
όπως και εδώ, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=338027 από τον JBL για να μου δείξει την αντίστροφη φορά..

. Τελικά το θέμα έχει ενδιαφέρον θα το ξανακοιτάξω..Μοιάζει να ισχύουν και οι δύο φορές και το για να αποφανθούμε ποια ισχύει ίσως χρειάζεται η μονοτονία της f (κάτι τέτοιο μοιάζει να λέει ο JBL).

Τα ξ του ΘΜΤ και ΘΜΤΟΛ σε κοίλη συνάρτηση

Τα ξ του ΘΜΤ και ΘΜΤΟΛ σε κοίλη συνάρτηση

Re: Τα ξ του ΘΜΤ και ΘΜΤΟΛ σε κοίλη συνάρτηση

Re: Τα ξ του ΘΜΤ και ΘΜΤΟΛ σε κοίλη συνάρτηση

Re: Τα ξ του ΘΜΤ και ΘΜΤΟΛ σε κοίλη συνάρτηση

Re: Τα ξ του ΘΜΤ και ΘΜΤΟΛ σε κοίλη συνάρτηση

Re: Τα ξ του ΘΜΤ και ΘΜΤΟΛ σε κοίλη συνάρτηση

Re: Τα ξ του ΘΜΤ και ΘΜΤΟΛ σε κοίλη συνάρτηση

Re: Τα ξ του ΘΜΤ και ΘΜΤΟΛ σε κοίλη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση