Υπολογισμός σταθεράς

#1

Έστω f, g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο R με g '(x) διαφορετική απο το μηδέν για κάθε χ πραγματικό.

Αν ισχύει:

$\displaystyle{ \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = e^{f(x) - g(x)} }$

για κάθε χ πραγματικό και επιπλέον:

f(0)=g(2010)=1 τότε να βρείτε τη μεγαλύτερη σταθερά c για την οποία αληθεύει:

f(2010)> c, για κάθε ζευγάρι συναρτήσεων που επαληθεύουν τα παραπάνω.

Spribo · #2

#3

Ναι, αλλά ο λόγος που την έδωσα είναι για να γίνει κουβέντα πάνω σε αυτό. Αν θες δώσε και τη λύση,,,

Spribo · #4

Με συγχωρείτε που δεν έδωσα αμέσως τη λύση...
Από την $\frac{f'(x)}{g'(x)}=e^{f(x)-g(x)$ έχουμε ότι $(e^{-f(x)})'=(e^{-g(x)})'$ , οπότε $e^{-f(x)}=e^{-g(x)}+k$ , k σταθερά.
Για x=0 παίρνουμε $e^{-1}-k=e^{-g(0)}$ , ενώ για x=2010 $e^{-1}+k=e^{-f(2010)}$ . Από αυτές τις δύο έχουμε ότι
$2e^{-1}=e^{-g(0)}+e^{-f(2010)} \leftrightarrow e^{1-f(2010)}=2-e^{1-g(0)}$ . Από αυτό προκύπτει ότι το ανώτερο άνω φράγμα που είναι δυνατόν να επιτύχουμε για το $e^{1-f(2010)}$ είναι το 2, οπότε έχουμε:
$e^{1-f(2010)}<2 \leftrightarrow 1-f(2010)<ln(2) \leftrightarrow f(2010)>1-ln2$ , κι άρα c=1-ln2

.

#5

Kατ'αρχήν να πω πως το θέμα είναι απο τα Harvard-MIT Tournaments (όπως και άλλα που έχω δώσει) και υπάρχει και στο τελευταίο βιβλίο ανάλυσης του Andreescu.
Την έδωσα γιατί δε με καλύπτει αυτή η επιλογή του 1-ln2.

Ευχαριστώ πολύ για τη λύση και την ενασχόληση...

Spribo · #6

Έχει γράψει βιβλίο ανάλυσης ο Andreescu;

#7

Nαι.

Λέγεται ''Problems in real analysis-advanced calculus on the real axis''
T.Radulescu-V.Radulescu-T.Andreescu.
Εκδόσεις Springer.

Spribo · #8

Ευχαριστώ!

Υπολογισμός σταθεράς

Υπολογισμός σταθεράς

Re: Υπολογισμός σταθεράς

Re: Υπολογισμός σταθεράς

Re: Υπολογισμός σταθεράς

Re: Υπολογισμός σταθεράς

Re: Υπολογισμός σταθεράς

Re: Υπολογισμός σταθεράς

Re: Υπολογισμός σταθεράς

Μέλη σε σύνδεση