Καινούργιο Θεώρημα? στην ανάλυση

[R BORIS]

Μετά την συζήτηση Εδώ επεξεργαστήκαμε ο Σπύρος και εγώ την παρακάτω πρόταση που νομίζουμε ότι δεν υπάρχει στην βιβλιογραφία.
Αφορά το θεώρημα Flett και ισχυρίζεται ότι αν το θεώρημα Flett ισχύει τουλάχιστον μια φορά σε κάποιο διάστημα [a,b] τότε ισχύει άπειρες φορές και οι τετμημένες των «ξ» σχηματίζουν μια ακολουθία που συγκλίνει σε κάποιο ώστε το να είναι σημείο καμπής της Cf.
Υποβάλαμε λοιπόν την παρακάτω εργασία στην ΕΜΕ στις 8/4 και μας είπαν ότι θα επικοινωνήσουν μαζί μας σε ένα μήνα περίπου
Θα είμαστε ευγνώμονες αν μας στείλετε κάποια σχόλια κριτικάροντας το ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ ΧΟΡΔΩΝ που υπάρχει στο συνημμένο

ελπίζουμε να είναι η τελική μορφή της εργασίας αυτή

[dgk]

Αν έχω καταλάβει καλά, στην απόδειξη τής Εικασίας 2 χρησιμοποιείται το εξής: "Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[α,β]→R με f′(α)=f′(β) είναι τέτοια, ώστε, η f′ να παρουσιάζει ακρότατο στο x₀∈(α,β), τότε το x₀ είναι θέση σημείου καμπής τής f." Όμως, αυτό είναι κάτι που δεν ισχύει.

[R BORIS]

Αυτή είναι η παρατήρηση 19.13 (Περίπου (α,β) κλπ) του βιβλιου του Νεγρεπόντη τόμος ΙΙΑ σελιδα 53 ΚΥΡΤΕΣ και ΚΟΙΛΕΣ συναρτήσεις και στην αρχή εξαιρούμε την περίπτωση η πσράγωγος να είναι σταθερή.Που είναι το λάθος?
Ευχαριστούμε για την ενασχόληση!

[dgk]

Ποιόν ορισμό χρησιμοποιείτε για το σημείο καμπής; Επίσης, πάλι όσον αφορά στην απόδειξη τής Εικασίας 2, θα ήθελα να ρωτήσω από που προκύπτει ότι η f' είναι φραγμένη στο (α,β);

[R BORIS]

1.ορισμὀς 19.12 του ίδιου βιβλίου σελίδα 52 για το ΣΚ
2.αφού φ παραγωγίσιμη στο [α,β] ο παράγωγος αριθμός είναι πραγματικός σε κάθε χ του κλειστού [α,β] το αναφέρουμε σαφώς στο θ.Flett

[dgk]

Πρώτα απ' όλα, νομίζω ότι καλό είναι να διατυπωθεί στην εργασία σας ο ορισμός που χρησιμοποιείτε για το σημείο καμπής, διότι υπάρχουν γι' αυτό διάφοροι μή ισοδύναμοι ορισμοί. Έτσι, μπορεί μια πρόταση που είναι αληθής ως προς τον ένα απ' αυτούς να είναι ψευδής ως προς τον άλλο. Αυτή τη στιγμή δεν έχω πρόσβαση στο βιβλίο που αναφέρεστε, αν κι έχω μια υποψία σχετικά με το ποιος μπορεί να είναι ο ορισμός που χρησιμοποιήσατε.
Για το δεύτερο ερώτημα, αν δεν μου διαφεύγει κάτι, ισχυρίζεστε, λανθασμένα, ότι κάθε πραγματική συνάρτηση είναι φραγμένη όταν ορίζεται σε κλειστό διάστημα.

[R BORIS]

Για το σημείο καμπής θα το κάνουμε

Για το δεύτερο ναι σας διαφεύγει κάτι. Δεν μιλάμε για μια οποιαδήποτε συνάρτηση αλλά για μια παρἀγωγο. Δεν μπορεί οποιαδήποτε συνάρτηση να είναι παρἀγωγος (με το θεώρημα Darboux αυτό καθίσταται προφανές)
Ο ορισμός της παραγώγου αναφέρεται σε πραγματικούς . Αν υπήρχε τότε απλά η f δν θα ήταν παραγωγίσιμη στο πράγμα που αντίκειται στις υποθέσεις μας (f παραγωγίσιμη στο [a,b])

[Demetres]

Ροδόλφε, δεν είναι όλες οι παραγώγοι σε κλειστά διαστήματα φραγμένες. Το κλασσικό παράδειγμα είναι η στο .

Μπορείτε φυσικά να προσθέσετε στις αρχικές συνθήκες ότι η είναι συνεχώς παραγωγίσιμη (ή ότι έχει φραγμένη παράγωγο.)

[R BORIS]

έχετε δίκιο αβλεψία μας
απάντησα βιαστικά
Προσθέτουμε ότι f' φραγμένη ή συνεχής

[dgk]

Όμως, ακόμη κι αν υποτεθεί ότι η είναι φραγμένη στο , οπότε το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε, από που προκύπτει ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε, ; (διότι, αν δεν κάνω λάθος, για να αιτιολογήσετε αυτόν τον ισχυρισμό, χρησιμοποιήσατε τον ορισμό τού supremum, κάτι το οποίο από μόνο του δεν είναι αρκετό, μιας και αυτό που σίγουρα προκύπτει είναι ότι υπάρχει ακολουθία η οποία συγκλίνει σε κάποιο και είναι τέτοια, ώστε, )

[R BORIS]

Κατ' αρχή ευχαριστούμε πολύ για τις παρατηρήσεις
Φαντάζομαι ότι τώρα με την συνέχεια της f' είναι ΟΚ

[dgk]

Όσον αφορά στην απόδειξη τής 4ης παρατήρησης, θα ήθελα να ρωτήσω το εξής: Πώς από την ισότητα και το γεγονός ότι η έχει υποτεθεί κυρτή στο , συμπεραίνετε ότι η είναι σταθερή σε ολόκληρο το ; Αυτό που σίγουρα ισχύει είναι ότι είναι σταθερή στο .

[R BORIS]

Στην σελίδα 4 δεχόμαστε ότι η f' δεν είναι πουθενά σταθερή. Στην απόδειξη της 4 φτάνουμε στο οπότε... η f' θα είναι σταθερή στο [t,ξ] άτοπο. Αν η f' ήταν σταθερή στο [α,β] τότε δεν θα ήταν άτοπο αλλά δεχτήκαμε ότι...
ευχαριστούμε και πάλι

[dgk]

Προχωρώντας λίγο περισσότερο, απ' την στιγμή που η 4 καλύπτει την 2, μπορείτε να αποδείξετε μόνο την 4 και μάλιστα η απόδειξη μπορεί να είναι άμεση στην περίπτωση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο [α,β], με f' συνεχή η οποία δεν σταθεροποιείται σε κανένα υποδιάστημα τού [α,β] και τέτοια, ώστε, f'(α)=f'(β).

Πράγματι, η f' θα λαμβάνει μέγιστο και ελάχιστο στο [α,ξ], όπου το ξ προκύπτει απ' το Θ. Flett. Όμως, απ' το ΘΜΤ υπάρχει t στο (α,ξ), τέτοιο, ώστε, f'(t)=f'(ξ). Έτσι, πάντοτε θα υπάρχει ένα εσωτερικό σημείο xo τού [α,ξ] όπου η f' λαμβάνει ακρότατο (όταν τόσο το μέγιστο όσο και το ελάχιστο λαμβάνονται στα άκρα τού [α,ξ], μπορεί ως xo να επιλεγεί το t). Άρα η f παρουσιάζει καμπή στο xo *.

*Ενδεχόμενο είναι, στο σημείο αυτό, να χρειάζονται κι άλλες υποθέσεις επί τής f. Αυτό εξαρτάται από τον ορισμό τού Σ.Κ. που χρησιμοποιείτε. Γι' αυτό θα ήθελα να σας παρακαλέσω σε κάποια επόμενη δημοσίευσή σας να τον αναφέρετε.

[R BORIS]

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση. Ένα σημείο θα ονομάζεται σημείο καμπής της αν υπάρχει ώστε και η είναι γνήσια αύξουσα στο και γνήσια φθίνουσα στο ή είναι γνήσια φθίνουσα στο και γνήσια αύξουσα στο

[dgk]

Η αλήθεια είναι ότι δεν περίμενα αυτόν τον ορισμό, διότι, βάσει αυτού, η πρόταση:

" Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[α,β]→R είναι τέτοια, ώστε, η f′ να παρουσιάζει ακρότατο στο x₀∈(α,β), τότε το x₀ είναι θέση σημείου καμπής τής f ", είναι ψευδής.

Υπάρχει παράδειγμα συνάρτησης f, όπου ενώ η f' παρουσιάζει ακρότατο στο x₀∈(α,β), εντούτοις, εκατέρωθεν αυτού, η f' δεν αλλάζει είδος μονοτονίας, κατά συνέπεια η f δεν παρουσιάζει καμπή στο εν λόγω σημείο.

Νομίζω, όμως, ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν διαφορετικό ορισμό για το Σ.Κ., όπως π.χ. αυτόν που ακολουθεί:

Έστω f:[α,β]→R συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β). Το σημείο (xo,f(xo)) θα λέγεται σημείο καμπής τής f αν
f ''(xo)=0 και f ''(xo-h) f ''(xo+h)<0 για h διάφορο του 0 τέτοιο, ώστε xo-h, xo+h εν (α,β).

Βέβαια, τώρα, θα πρέπει να εξαιρεθεί η περίπτωση όπου η f' σταθεροποιείται σε κάποιο υποδιάστημα τού [α,β], αν στις αποδείξεις σας χρησιμοποιηθεί η αληθής, πλέον, πρόταση,

" Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[α,β]→R είναι τέτοια, ώστε, η f′ να παρουσιάζει ακρότατο στο x₀∈(α,β), χωρίς η f' να σταθεροποιείται σε μια οποιαδήποτε περιοχή τού xo, τότε το x₀ είναι θέση σημείου καμπής τής f ".

[R BORIS]

Σωστα΄κάτι σαν πριονωτή γυρω πχ από την χ^2
Θα το διορθώσουμε
ευχαριστούμε.
κάναμε τις δέουσες διορθώσεις και περιμένουμε
ευχαριστούμε εκ των προτέρων

[dgk]

Αυτή τη φορά, για να αποδείξετε την 2, χρησιμοποιήσατε αυθαίρετα το ότι όταν μια συνεχής συνάρτηση δεν διατηρεί το ίδιο είδος μονοτονίας σε ένα διάστημα, τότε, αναγκαστικά, υπάρχει εσωτερικό σημείο τού διαστήματος όπου εκατέρωθεν αυτού αλλά αρκούντως κοντά του, αλλάζει η μονοτονία τής συνάρτησης.
Επίσης, στην απόδειξη τής 4, απ' την στιγμή που ως ορισμό τού σημείου καμπής χρησιμοποιήσατε πάλι αυτόν τής αρχικής εργασία σας, είναι λάθος ο ισχυρισμός ότι όταν μια συνάρτηση δεν παρουσιάζει σημείο καμπής σ' ένα διάστημα, τότε αναγκαστικά η συνάρτηση είτε θα είναι κυρτή είτε κοίλη στο διάστημα αυτό.

[R BORIS]

η βοήθεια και το ενδιαφέρον είναι πολύτιμα!
φαίνεται πως κάπου έχουμε παρανοήσει το ΣΚ
Αν κατάλαβα καλά προτείνετε
1. Να δεχτούμε την ύπαρξη 2ης παραγώγου
2. Ορισμός Έστω f:[α,β]→R συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β). Το σημείο (xo,f(xo)) θα λέγεται σημείο καμπής τής f αν f ''(xo)=0 και f ''(xo-h) f ''(xo+h)<0 για κάθε h διάφορο του 0 τέτοιο, ώστε xo-h, xo+h εν (α,β).
3. Να δεχτούμε ότι η 1η παράγωγος δεν σταθεροποιείται πουθενά
έτσι καλύπτουμε και την 2η και την 4η πρόταση?
Ευχαριστούμε και θα ξανά επέμβουμε για όλα αυτά

[dgk]

Έχετε και μια δεύτερη επιλογή. Να υποθέσετε, εκτός των άλλων, ότι η f είναι αναλυτική συνάρτηση στο [α,β], χωρίς η f' να σταθεροποιείται σε κάποιο υποδιάστημά του.
Τότε, αν η f' είναι τέτοια, ώστε, να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ' ένα σημείο xo τού (α,β) αποδεικνύεται ότι η f' θα είναι γνησίως αύξουσα σε μια περιοχή αριστερά τού xo και γνησίως φθίνουσα σε μια περιοχή δεξιά τού xo ή αντίστροφα. Σκιαγραφόντας την απόδειξη τού τελευταίου, παρατηρούμε ότι η f'' δεν μπορεί να έχει στο (α,β) σημείο συσσώρευσης ριζών, διότι τότε, ως αναλυτική, θα μηδενιζόταν ταυτοτικά σε κάποιο υποδιάστημα τού (α,β), πράγμα το οποίο αντίκειται στις υποθέσεις τής f.
Έτσι, μπορεί να ξεπεραστεί το πρόβλημα με την απόδειξη τής Παρατήρησης 4 η οποία καλύπτει και την Παρατήρηση 2.
Πράγματι, η f' θα λαμβάνει μέγιστο και ελάχιστο στο [α,ξ], όπου το ξ προκύπτει απ' το Θ. Flett. Όμως, απ' το ΘΜΤ υπάρχει t στο (α,ξ), τέτοιο, ώστε, f'(t)=f'(ξ). Έτσι, πάντοτε θα υπάρχει ένα εσωτερικό σημείο xo τού [α,ξ] όπου η f' λαμβάνει ακρότατο (όταν τόσο το μέγιστο όσο και το ελάχιστο λαμβάνονται στα άκρα τού [α,ξ], μπορεί ως xo να επιλεγεί το t). Άρα, λόγω τού παραπάνω συμπεράσματος, η f παρουσιάζει καμπή στο xo.