Πιθανότητα

#1

Πάρτε ένα τυχαίο ψηφίο απο το δεκαδικό ανάπτυγμα του αριθμού:

$\displaystyle{ \frac{1}{{99999}} }$

Ποιά είναι η πιθανότητα αυτό να είναι το μηδέν;;

#2

Χρήστο, η απάντηση που ζητάς είναι 4/5 αλλά νομίζω το θέμα «μπάζει» λίγο.

Πως επιλέγουμε ένα τυχαίο ψηφίο από το δεκαδικό ανάπτυγμα του $0.x_1x_2x_3\ldots$ ; Μπορούν να δοθούν πολλές διαφορετικές κατανομές πιθανοτήτων, αλλά καμία ομοιόμορφη κατανομή.

#3

Δημήτρη δεν πιάνω την ομοιόμορφη κατανομή που λες...
Τι πιο ομοιόμορφο απο την κατανομή των ψηφίων του δεκαδικού μερούς του περιοδικού:

$\displaystyle{ 0,\overline {00001} }$

Τέσσερα μηδενικά, μια μονάδα. Τέσσερα μηδενικά, μια μονάδα...

Είναι απο αμερικάνικο διαγωνισμό του Harvard-Mit.

Στην κατηγορία θεμάτων ''Guts'' (τα λέει όλα ο τίτλος!)

Θαρρώ πως εκεί δεν είναι και τόσο τυχαίοι...

Αλλά μπορεί και να έχεις δίκιο.

Δεν είμαι και τόσο βαθύς γνώστης της θεωρίας των πιθανοτήτων.

#4

Χρήστο εννοώ το εξής:

Όταν λέμε ότι παίρνουμε ένα τυχαίο στοιχείο του συνόλου $\{1,2,3,4,5\}$ τα πράγματα είναι απλά. Εννοούμε ότι ο δειγματικός χώρος είναι ο $\Omega = \{1,2,3,4,5\}$ και ότι για κάθε ενδεχόμενο $A \subseteq \Omega$ έχουμε $\Pr(A) = |A|/|\Omega|$ . Έστω και αν δεν το δηλώνουμε δηλαδή, εννοείται ότι η κατανομή είναι ομοιόμορφη.

Στην περίπτωσή μας έχουμε το ανάπτυγμα $0.x_1x_2x_3\ldots$ και θέλουμε να πάρουμε ένα τυχαίο ψηφίο. Πως θα το κάνουμε αυτό; Θα θέλαμε ο δειγματικός χώρος να είναι ο $\Omega = \{1,2,3,\ldots\}$ , ώστε αν πάρουμε ένα τυχαίο στοιχείο του $\Omega$ , π.χ. το 5, να εννοούμε ότι επιλέξαμε το x_5

. Θέλουμε όμως και μια κατανομή πιθανοτήτων. Έστω ότι $\Pr(\{1\}) = p_1, \Pr(\{2\}) = p_2$ κ.τ.λ. Τότε για κάθε ενδεχόμενο $A \subseteq \Omega$ έχουμε $\Pr(A) = \sum_{i \in A}p_i$ . (Από το αξίωμα που λέει ότι η συνάρτηση πιθανότητας είναι αριθμήσιμα προσθετική.) Θα θέλαμε όμως η κατανομή να είναι ομοιόμορφη. Δηλαδή $p_1 = p_2 = p_3 = \cdots$ . Αλλά $p_1 + p_2 + p_3 + \cdots = \Pr(\Omega) = 1$ . Αυτές οι ισότητες είναι αδύνατον να ικανοποιηθούν ταυτόχρονα.

Για αυτό λέω ότι το θέμα μπάζει. Ο μόνος τρόπος να ερμηνευθεί αυστηρά η άσκηση είναι ο εξής:

Έστω p_n

η πιθανότητα ένα τυχαίο ψηφίο από τα πρώτα

ψηφία του δεκαδικού αναπτύγματος του

. Να υπολογιστεί αν υπάρχει το όριο της ακολουθίας (p_n)

.

Πιθανότητα

Πιθανότητα

Re: Πιθανότητα

Re: Πιθανότητα

Re: Πιθανότητα

Μέλη σε σύνδεση