z1+z2+z3=1

giannisn1990 · #1

Αν για τους μιγαδικούς $\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}$ ισχύουν $\displaystyle z_{1}+z_{2}+z_{3}=1$ και $\displaystyle |z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=1$ ΝΔO κάποιος από αυτούς ταυτίζετε με την μονάδα (δηλ. $\displaystyle z_{1}=1$ ή $\displaystyle z_{2}=1$ ή $\displaystyle z_{3}=1$ )

#2

Καταρχήν επειδή z_1+z_2+z_3=1

άρα $\bar{z_1}+\bar{z_2}+\bar{z_3}=1$ που σημαίνει ότι z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1 = z_1z_2z_3

. Ας συμβολίσουμε με

αυτές τις δύο ίσες παραστάσεις.

Οι z_1,z_2,z_3

είναι (από τύπους Vieta) ρίζες της (ως προς

) εξίσωσης t^3-(z_1+z_2+z_3)t^2+(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)t-z_1z_2z_3=0

δηλαδή της t^3-t^2+kt-k=0

, η οποία προφανώς έχει ρίζα τον αριθμό t=1

. Άρα κάποιος από τους z_1,z_2,z_3

είναι ίσος με

.

Αλέξανδρος

mathfinder · #3

Επισυνάπτω και μία λύση , διαφορετική από τη λύση του Aλέξανδρου , χωρίς τύπους του Vieta και περισσότερες ... πράξεις.
Αθ. Μπεληγιάννης

nicolae · #4

Είναι:
$\displaystyle (z_1-1)(z_2-1)(z_3-1)=z_1z_2z_3-(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)+(z_1+z_2+z_3-1)=\vskip5pt =\displaystyle z_1z_2z_3-(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)=z_1z_2z_3\left[1-\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}\right)\right]=\vskip5pt = z_1z_2z_3[1-(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3})]=z_1z_2z_3[1-(\overline{z_1+z_2+z_3})]=0$

dimitris pap · #5

Ας αναφέρω και μια "μη σχολική" λύση χρησιμποιώντας διανύσματα-γεωμετρία.
Από τα δεδομένα, τα σημεία $(0,0), (\frac{1}{3},0)$ είναι αντίστοιχα το περίκεντρο και το βαρύκεντρο του τριγώνου που αποτελείται απ' τις εικόνες των μιγαδικών.
Ξέρουμε τώρα ότι σε κάθε τρίγωνο $3OG=OH\iff$ το ορθόκεντρο Η, είναι το (1,0)

. Ετσι το ορθόκεντρο ανήκει στον ίδιο κύκλο με το τρίγωνο και ο μόνος τρόπος για να συμβαίνει αυτό είναι να ταυτίζεται με μια απ' τις κορυφές (δηαλδή είναι ορθογώνιο το τρίγωνο)!
Αυτό συμβαίνει αφού για να βρίσκεται το ορθόκεντρο στο κύκλο, αν δεν ταυτίζεται με κάποια κορυφή, τότε το ορθόκεντρο είναι έξω απ' το τρίγωνο, κι άρα υπάρχει μια αμβλεία γωνία (έστω η A, απ' το τρίγωνο ΑΒΓ). Σε αυτό το σχήμα μπορεί κανείς να δει ότι το Η βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το Α, ως προς τη ΒΓ, κι άρα δεν μπορεί να ανήκει στον κύκλο ΑΒΓ!

Ετσι ταυτίζεται με μια απ' τις κορυφές, έστω την Α, κι άρα η Α είναι ορθή!

Στη λύση γίνεται φανερό πως η γεωμετρία βοηθάει στην κατανόηση των μιγαδικών (ακόμα και για τις Πανελλήνιες

)

z1+z2+z3=1

z1+z2+z3=1

Re: z1+z2+z3=1

Re: z1+z2+z3=1

Re: z1+z2+z3=1

Re: z1+z2+z3=1

Μέλη σε σύνδεση