αντιστροφη

coheNakatos · #1

Εαν f συνεχης τοτε και f^-1 συνεχης?(αν ναι γιατι?)

Ισχυει το ιδιο για την παραγωγισιμοτητα?

#2

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής, τότε η αντίστροφη δεν είναι απαραίτητα συνεχής. Για παράδειγμα η $f(x)=x ,x \in [0,1)$ και $f(x)=x-1, x \in [2,3]$ είναι συνεχής με αντίστροφη την $g(x)=x, x \in [0,1)$ και $g(x)=x+1, x \in [1,2]$ , η οποία είναι ασυνεχής στο 1. Αν όμως η συνάρτηση είναι συνεχής σε διάστημα, τότε η αντίστροφή της είναι συνεχής. Αυτό αποδεικνύεται, όχι δύσκολα, αλλά δεν νομίζω πως υπάρχει απόδειξη στα πλαίσια της σχολικής ύλης. Μπορείς όμως να κοιτάξεις σε ένα οποιοδήποτε πανεπιστημιακό βιβλίο Απειροστικού Λογισμού και θα βρεις απόδειξη, όπως και απάντηση στη δεύτερη απορία σου.
Φιλικά

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #3

Αν η f είναι συχεχής και γνησίως μονότονη σε διάστημα Δ, τότε ορίζεται η $\displaystyle{f^{ - 1} }$
, η οποία είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και γνησίως μονότονη και με το ίδιο είδος μονοτονίας με την f

Είναι δυνατόν μια συνάρτηση f να είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, αλλά η $\displaystyle{f^{ - 1} }$
να μην είναι συνεχής. Αυτό συμβαίνει γιατί το πεδίο ορισμού της f είναι ένωση διαστημάτων και οχι διάστημα.

Παράδειγμα:
$\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x^2 \begin{array}{*{20}c} {\alpha \nu } & {0 \le x \le 2} \\ \end{array} \\ 2x - 2\begin{array}{*{20}c} {\alpha \nu } & {3 < x \le 4} \\ \end{array} \\ \end{array} \right. }$

έχουμε οτι

$\displaystyle{ f^{ - 1} (x) = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt x \begin{array}{*{20}c} {\alpha \nu } & {0 \le x \le 4} \\ \end{array} \\ \frac{{x + 2}}{2}\begin{array}{*{20}c} {\alpha \nu } & {4 < x \le 6} \\ \end{array} \\ \end{array} \right. }$

Ηρθα δεύτερος ,το αφήνω για να υπάρχει και ένα δεύτερο παράδειγμα.

manos1992 · #4

έχουμε σχετική συζήτηση εδώ viewtopic.php?f=61&t=3696&p=19951
ο κύριος Κωστάκος έχει επιτύχει μια απόδειξη με χρήση ακολουθιών και ο κύριος Λάμπρου λέει πως έχει μια απόδειξη προσιτή σε μαθητές..ίσως ο ίδιος μπορούσε να βοηθήσει με μια τέτοια απόδειξη..

k-ser · #5

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Αν η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διάστημα Δ, τότε ορίζεται η \displaystyle{f^{ - 1} }
, η οποία είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και γνησίως μονότονη και με το ίδιο είδος μονοτονίας με την f

Έχω την εντύπωση ότι η παρακάτω απόδειξη είναι ικανή για το παραπάνω.
Είναι εκτός εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου, αλλά εντός της ύλης που περιέχει το σχολικό βιβλίο.

gn.mon..pdf: (490.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 1743 φορές

αντιστροφη

αντιστροφη

Re: αντιστροφη

Re: αντιστροφη

Re: αντιστροφη

Re: αντιστροφη

Μέλη σε σύνδεση