Ωραία διοφαντική

number theory · #1

x^3=y^2 +2 με x,y ανήκουν στο Ζ

Dreamkiller · #2

Με τη στοιχειώδη αλγεβρική θεωρία αριθμών που ξέρω νομίζω ότι βγαίνει εύκολα.
Δουλεύοντας στο $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ παίρνουμε την παραγοντοποίηση $(y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2})=x^3$ . Έχουμε πως $(y+\sqrt{-2},y-\sqrt{-2}) \leq 2$ αλλά αν $x \equiv 2 (mod 8)$ τότε $y^2 \equiv 6 (mod 8)$ , που είναι άτοπο. Επομένως $(y+\sqrt{-2},y-\sqrt{-2})=1$ και επειδή ο ${Z}[\sqrt{-2}]$ είναι UFD έπεται ότι $y+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3$ . Αναπτύσσοντας προκύπτει ότι $a^3 +3a^2b{\sqrt-2} -6ab^2 -2b^3\sqrt{-2}=y+\sqrt{-2}$ . Συγκρίνοντας τους συντελεστές του $\sqrt{-2}$ παίρνουμε b(3a^2-2b^2)=1

. Επομένως b=1

και $a=\mp 1$ . Αντικαθιστώντας παίρνουμε $y=\mp5$ και x=3

.

number theory · #3

Ωστόσο,δε χρείαζεται να θεωρήσεις mod8 το x.Μπορείς να πείς ότι αν ήταν χ:άρτιος τότε το
χ^2+2 θα διαιρείται με το 2 αλλά όχι με το 4.Άρα το y^3 διαρείται με το 2 αλλά όχι με το 8,άτοπο.Άρα x:περιττός και συνεχίζουμε όπως είπες ήδη

number theory · #4

Συγχαριτήρια,ωστόσο.Έτσι λύνεται ουσιαστικά η α^χ-β^ψ=k με χ,ψ,k,σχετικά μικρά

Ωραία διοφαντική

Ωραία διοφαντική

Re: Ωραία διοφαντική

Re: Ωραία διοφαντική

Re: Ωραία διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση