Πολύ δύσκολη ανισότητα πρώτων

[number theory]

Να αποδειχθεί ότι κάθε πρώτος είναι μικρότερος από το άθροισμα των 2 προηγουμένων του,εκτός από το 5=3+2 και 3=2+1 (Κανονικά,το 1 θα έπρεπε να θεωρείται πρώτος.Αν θέλουμε unique factorization,ας ορίσουμε πρώτο(στο k(1)) έναν αριθμό με ακριβώς 2 διαιρέτες)

[number theory]

Έχει τουλάχιστον κανείς μία ιδέα,οποιαδήποτε?

[number theory]

Να δώσω μία υπόδειξη?

[Demetres]

Number theory μην βιάζεσαι. Ίσως πολλοί δεν πρόλαβαν καν να την δουν, πόσο μάλλον να την σκεφτούν κιόλας.

Μου φαίνεται δύσκολη άσκηση μιας και συνεπάγεται το Bertrand's postulate που λέει ότι για κάθε υπάρχει πρώτος μεταξύ του και του .

Φαντάζομαι ότι αν κοιτάξουμε προσεκτικά την απόδειξη του Bertrand's postulate ίσως να καταφέρουμε να δείξουμε και αυτό το οποίο φαίνεται κάπως ισχυρότερο. Δεν το δοκίμασα. Από την βικιπαίδεια πάντως διαβάζω ότι για κάθε υπάρχει ένας πρώτος μεταξύ του και του . Με αυτό μπορώ να αποδείξω το αποτέλεσμα για όλους τους πρώτους μεγαλύτερους του 37 (ο τρίτος πρώτος μεγαλύτερος του 24). Για τους υπόλοιπους μπορούμε να τους ελέγξουμε ένα προς ένα για να δούμε αν ισχύει ή όχι.

[number theory]

Κ.Δημήτρη,ασφαλώς ισχυεί όταν οι πρώτοι είναι μικρότεροι ή ίσοι με το 37.Άρα συνεπάγεται ότι αφού ο (ν-2)-πρώτος είναι μεγαλύτερος του 25/36 του ν-οστού πρώτου και ο (ν-1)-πρώτος είναι μεγαλύτερος του 5/6 του ν-οστού πρώτου το άθροισμα τους σαφώς τον ξεπερνάει το ν-οστό πρώτο,άρα ισχυεί το θεώρημα.[Στηρίχτηκα εδώ στο άρθρο της Wikipedia που αναφερθήκατε]

Μπορούμε όμως να δείξουμε το εξής:για κάθε ν>5 υπάρχουν τουλάχιστον 2 πρώτοι ανάμεσα στο ν και στον 2ν

Οπότε το ζητούμενο είναι μία εύκολη συνέπεια αυτού του (ομολογουμένως)αρκετά δυσκόλου
Θεωρήματος

[Demetres]

number theory, να σε παρακαλέσω να μου μιλάς στον ενικό.