ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

qwerty · #1

αν οι θετικοι ακέραιοι m,n

ειναι πρωτοι μεταξύ τους να δειξετε οτι και οι αριθμοι m+n,mn

ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Ωmega Man · #2

Έστω $\displaystyle{\bf (m+n,m\cdot n)= d}$ . Το παραπάνω μεταφράζεται ως εξής,
$\displaystyle\bf d|(m+n)$ και $\displaystyle{\bf d|m\cdot n}$ . Άρα $\displaystyle{\bf d|m}$ και $\displaystyle{\bf d|n}$ καθώς και $\displaystyle{\bf d|m}$ ή $\displaystyle{\bf d|n}$ . Επομένως $\displaystyle{\bf d|(m,n)\Rightarrow d|1 \Rightarrow d=1}$ .

qwerty · #3

Ωmega Man έγραψε:Άρα $\displaystyle{\bf d|m}$ και $\displaystyle{\bf d|n}$ καθώς και $\displaystyle{\bf d|m}$ ή $\displaystyle{\bf d|n}$ .

εξηγειτε λιγο πιο αναλυτικα αυτο το σημειο της αποδειξες.Γιατι να ισχυουν αυτα?

Ωmega Man · #4

Ας το δούμε αλλιώς αν σου πω ότι $\displaystyle{\bf c|(abc+d)}$ όπου a,b,c,d ακέραιοι με $\displaystyle{\bf c\neq 0}$ , μπορείς να εκφράσεις το παραπάνω με λόγια;

number theory · #5

Το μήνυμα ήταν στα Αγγλικά και διαγράφτηκε.

mathxl · #6

Χεχεχε, γιατί βρε συ number theory γράφεις στα english;

qwerty · #7

Ωmega Man έγραψε:Ας το δούμε αλλιώς αν σου πω ότι $\displaystyle{\bf c|(abc+d)}$ όπου a,b,c,d ακέραιοι με $\displaystyle{\bf c\neq 0}$ , μπορείς να εκφράσεις το παραπάνω με λόγια;

απο αυτο συμεραινουμε οτι c|d

.Στο προβλημα ομως το πολυ που μπορω να βγαλω ειναι οτι d|n^2

και

.Δεν μπορω ομως να βγαλω οτι d|m

και

Ωmega Man · #8

Όχι ακριβώς βγάζουμε ότι ,
$\displaystyle{ \bf \;c|abc \;\wedge \; c|d\;\Rightarrow c|a\;\vee\;c|b\;\vee \;c|c\; \wedge \;c|d\Rightarrow c|a\;\vee \;c|b \;\wedge\;c|d}$
δηλαδή c διαρεί ή το α ή b και c διαρεί d.

AlexandrosG · #9

Καλησπέρα,

φίλε Omega man αν θες ξαναδές το. Η σχέση $c \mid abc$ ισχύει πάντα και δεν δίνει πληροφορία. Η αρχική σου λύση δεν είναι σωστή (γιατί δεν ισχύει η σχέση που αναφέρει ο qwerty) αλλά διορθώνεται. Αντί να πούμε (m+n,mn)=d

λέμε: έστω

πρώτος με $p \mid m+n,p \mid mn$ και προχωράμε ομοίως. Anyway καλή προσπάθεια.

Μπορεί να κάνω και λάθος.

Φιλικά,

Αλέξανδρος

#10

Γιώργο (Ωmega Man) υπάρχει όντως λάθος στην λύση σου.

Για παράδειγμα 4|(2+6)

και $4|(2 \cdot 6)$ αλλά $4 \nmid 2$ και $4 \nmid 6$ .

Η απόδειξη διορθώνεται αν πάρουμε

ένα οποιοδήποτε πρώτο ο οποίος διαιρεί το (m+n,mn)

. Τότε

και άρα είτε p|m

είτε

. Επειδή όμως p|(m+n)

θα έχουμε

και

, άτοπο. Άρα (m+n,mn) = 1

.

Ωmega Man · #11

Παραπάνω είχε μια λύση ίδια με την δική σου αλλά διαγράφηκε .

number theory · #12

Αν ήταν d=(mn,m+n)>1,τότε ο d θα είχε πρώτο διαιρέτη p.Άρα p διαιρεί το μν,άρα p διαιρεί το
μ ή το ν.Αφού δ διαιρεί το μ+ν,και ο p θα διαιρεί το μ+ν άρα τελικά θα διαιρεί και τους δυό
Άρα d>p ή d=p,άτοπο.
Άρα δ=1

ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Re: ιδιοτητα αριθμων που ειναι πρωτοι μεταξυ τους

Μέλη σε σύνδεση