ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

kalafatis_kon · #121

cretanman έγραψε:Όπως απάντησε και ο Αχιλλέας αλλά και άλλοι συνάδελφοι παραπάνω νομίζω ότι δεν υπάρχει κάποιο πρόβλημα στη λύση μου και με σιγουριά πιστεύω ότι με την παραπάνω δημοσίευση δεν περνάω λανθασμένα μηνύματα. Δεν μπορώ να κρύψω όμως ότι με είχε μπερδέψει κάτι αντίστοιχο σε παλαιότερη δημοσίευση που ανέφερε ο Χρήστος Καρδάσης παραπάνω.

Λέτε

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:1) Ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχει αποδειχθεί και ισχύει μόνο όταν οι συντελεστές α, β και γ (α όχι 0) είναι δοσμένοι πραγματικοί αριθμοί, ανεξάρτητοι του . Για παράδειγμα, για να λύσουμε την εξίσωση: $\displaystyle{7{x^5} - 3{x^3} + 5x - 2 = 0}$ , μπορούμε να την γράψουμε: $\displaystyle{(7{x^3}){x^2} - (3{x^2})x + (5x - 2) = 0}$ και να εφαρμόσουμε τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με: $\displaystyle{\alpha = 7{x^3},\beta = - (3{x^2})}$ και $\displaystyle{\gamma = 5x - 2}$ ;;;
με το οποίο δε συμφωνώ. Ο λόγος είναι ότι η

$a(x)x^2+b(x)x+c(x)=0 \ \ (1)$ είναι ισοδύναμη με την $\left( x=\frac{-b(x)+\sqrt{b^2(x)-4a(x)c(x)}}{2a(x)} \ \ \acute{\eta} \ \ x=\frac{-b(x)-\sqrt{b^2(x)-4a(x)c(x)}}{2a(x)} \right) \ \ (2)$ ανεξάρτητα από το γεγονός ότι αν η είναι μία εξίσωση τότε δε μπορούμε να τη λύσουμε με τη βοήθεια των άλλων μορφών της αν οι δεν είναι σταθεροί αριθμοί. Για να δώσω ένα πιο απλό παράδειγμα από το δικό σας για να είναι πιο γρήγορες οι πράξεις:

Τι μας εμποδίζει την εξίσωση να τη γράψουμε σαν θεωρώντας τη σαν δευτεροβάθμια με $a(x)=x, b(x)=-2x, c(x)=3, \ \Delta=4x^2-12x$ και μετά να πούμε ότι

$x=\frac{2x+\sqrt{4x^2-12x}}{2x}$ ή $x=\frac{2x-\sqrt{4x^2-12x}}{2x}$ ;;;

Απολύτως τίποτε!!

Το μόνο που καταφέραμε είναι απλά να εκφράσουμε το x σαν συνάρτηση του x χωρίς όμως να καταφέρουμε να λύσουμε την εξίσωση (Πρόβλημά μας που την είδαμε ως δευτεροβάθμια... όμως ο παραπάνω μετασχηματισμός της αρχικής εξίσωσης ισχύει).

Όσον αφορά τους ποσοδείκτες νομίζω ότι έδωσα αρκετή προσοχή στον επιμερισμό του συμβόλου "για κάθε" ο οποίος δεν υφίσταται. Θέλω να πω ότι στη λύση μου γράφω:

cretanman έγραψε:για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει

$f(x)=x+\sqrt{x^2+9}$ ή $f(x)=x-\sqrt{x^2+9}$
(εννοώντας φυσικά ότι για κάποια x μπορεί να ισχύει $f(x)=x+\sqrt{x^2+9}$ και ότι για κάποια άλλα x μπορεί να ισχύει $f(x)=x-\sqrt{x^2+9}$ )

όμως παρακάτω αποδεικνύω ότι δεν μπορεί να υπάρχει κανένα για το οποίο να ισχύει $f(x_0)=x_0-\sqrt{x_0^2+9}$ . Συνεπώς για όλα τα $x\in\mathbb{R}$ ισχύει $f(x)=x+\sqrt{x^2+9}$ .

Mε φιλική διάθεση,

Αλέξανδρος

Αλέξανδρε έχεις απόλυτο δίκιο και εγώ έτσι την έλυσα την άσκηση αυτή ...

k-ser · #122

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
ΕΠΕΙΔΗ ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΕΡΝΑΝΕ ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΑ ΜΗΝΥΜΑΤΑ

Στο θέμα Δ3, όταν φθάνουμε στη σχέση: $\displaystyle{{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}$ είναι λάθος τη σχέση αυτή να την θεωρούμε σαν εξίσωση 2ου βαθμού με άγνωστο το f(x) και να εφαρμόζουμε τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης για να βρούμε το f(x), ανεξάρτητα αν με τον λανθασμένο αυτό τρόπο φθάνουμε στο ίδιο αποτέλεσμα ( ο σκοπός δεν αγιάζει τα μέσα).

Αγαπητέ Αντώνη. Έχεις δίκιο όσον αφορά τη διατύπωση αλλά γιατί να μην μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης;
Δεν πρέπει να θεωρούμε την σχέση αυτή σαν εξίσωση δευτέρου βαθμού.
Θεωρώ όμως ότι δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα με την παρακάτω διατύπωση και λύση, η οποία χρησιμοποιεί τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης....

Είναι $\displaystyle{{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}, \forall x \in \mathbb{R} \ \ \ (1)$ .

Έστω $x \in \mathbb{R}$ .
Ο αριθμός f(x)

είναι ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: $\displaystyle y^2-2xy-9=0$ , η οποία έχει ρίζες τις $\displaystyle y=x \pm \sqrt{x^2+9}$ .

Συνεπώς, η ισότητα (1)

είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle f(x)=x \pm \sqrt{x^2+9}, \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ .

Με εκτίμηση.

#123

Δυο τρεις σκόρπιες σκέψεις για τα θέματα.

Πώς θα θέλαμε να είναι τα θέματα:
Σαφή, σωστά, δίχως περιθώρια παρανόησης, με κλιμακωτή δυσκολία. Να καλύπτουν ευρύ φάσμα της ύλης. Αν και έλειπαν αναφορές σε κάποια βασικά θεωρήματα, αυτό δικαιολογείται από τους περιορισμούς στη μορφή των θεμάτων.
Κυρίως, να επιβραβεύουν τον κόπο όσων κοπίασαν.
Αυτούς τους στόχους, πιστεύω ότι, τους πέτυχαν οι θεματοδότες.

Τι θέλαμε να αποφύγουν:
Να μην είναι ισοπεδωτικά, είτε πολύ εύκολα, είτε υπερβολικά αυξημένης δυσκολίας.
Μην ξεχνάμε ότι αφορούν ένα διαγωνισμό κατάταξης. Δεν έχει καθοριστεί ένας "πήχης", τον οποίον οι μαθητές καλούνται να υπερπηδήσουν, αλλά από την κατάταξή τους θα εξαρτηθεί η πρόσβασή τους σε σχολή της προτίμησής τους ή όχι.
Και αυτό το πέτυχαν οι θεματοδότες.

Μέσα στη λαίλαπα των αναδιαρθρώσεων και της αβεβαιότητας που επικρατεί (και) στο χώρο της Παιδείας, η χειρότερη προσφορά των θεματοδοτών θα ήταν θέματα να κρύβουν κάποιες "εκπλήξεις", να απαιτούν ουρανοκατέβατες λύσεις, να αναζητούν τους ελάχιστους μυημένους ή ξεχωριστούς, τσουβαλιάζοντας όνειρα και κόπους των υπολοίπων.
Κι αυτό το απέφυγαν. Με έναν απλό τρόπο: Σίγουρα, όσοι έχουν διδάξει κάποια χρόνια στο Λύκειο (στο Δημόσιο ή σε Φροντιστήριο), με την πρώτη ματιά θα βρήκαν κάποια σημεία των θεμάτων γνώριμα, δουλεμένα. Τα θέματα πατούσαν σε απλές, "γήινες" ιδέες και είχαν την επεξεργασία που δημιουργούσε την απαραίτητη κλιμάκωση της δυσκολίας.

Κι αυτό είναι το σημαντικό για τις γενικές εξετάσεις. Να αποκτήσει μια σταθερότητα το επίπεδο των θεμάτων. Να μην αυξομειώνεται ο δείκτης δυσκολίας, δημιουργώντας αισθήματα ανασφάλειας στους μαθητές. Να μην κλονίζεται η εμπιστοσύνη των μαθητών στις δυνάμεις τους. Να γνωρίζουν ότι αν δουλέψουν, θα ανταμειφθεί ο κόπος τους, δίχως να εξαρτάται από αστάθμητους παράγοντες, όπως π.χ. η διάθεση των θεματοδοτών κάθε χρονιά.
Η ενίσχυση των λίγων αδιάβλητων θεσμών που μας απέμειναν είναι το ζητούμενο για όλους μας.

Ευχές για Καλή Συνέχεια στους φίλους μας μαθητές της παρέας μας.

Γιώργος Ρίζος

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Πριν λίγο μπήκα και διάβασα όλα τα μηνύματα, μηδενός εξαιρουμένου. Χαίρομαι που στο mathematica γίνεται τόση ωραία και χρήσιμη επικοινωνία. Θυμάμαι τη δεκαετία του 80 και του 90 , όταν λύναμε τα θέματα των δεσμών, δεν είχαμε ένα άνθρωπο να ανταλλάξουμε μια κουβέντα. Τώρα τα μαθηματικά και η διδασκαλία είναι όνειρο !

Μπάμπη, αυτό ξαναπές το! Θυμάμαι τα παλαιότερα χρόνια που επικοινωνούσαμε με τα τηλέφωνα κι ανταλλάσαμε απόψεις. Το βιβλιοπωλείο του Χάρη ήταν σαν τηλεφωνικό κέντρο. Αν ήσουν τυχερός, προλάβαινες να μιλήσεις και λίγο με τον Θόδωρο (Καζαντζή) ή την Ελένη (Μήτσιου)!
Εδώ σε μια μέρα έχουν γραφτεί 120 μηνύματα, έχουν κατατεθεί πάμπολλες ιδέες, έχουν συμμετέχει εκατοντάδες (ή χιλιάδες;) φίλοι στη μεγάλη μας παρέα.

Στο Συνέδριο της Θεσσαλονίκης, συναντηθήκαμε σε μια αίθουσα 40-50 μέλη του mathematica.
Τώρα τίθεται το ερώτημα στον Μπάμπη, τα γήπεδα στη Χαλκίδα τι χωρητικότητα έχουν;

7apostolis · #124

Καλησπέρα και πάλι,
χωρίς να θέλω να πείσω για την ορθότητα της άποψής μου, θα καταθέσω ένα ακόμα επιχείρημα:

Ερώτημα: Αν φ συνεχής και 1-1 στο [α, β] τότε η φ είναι γνησίως μονότονη σ' αυτό.
"Απάντηση": Προσπαθώ να ενώσω με μια συνεχή γραμμή τα σημεία (α, φ(α)) και (β, φ(β)) και παρατηρώ ότι για να είναι η φ 1-1, πρέπει η γραμμή να ανεβαίνει μόνο ή να κατεβαίνει μόνο. Άρα η φ γνησίως μονότονη.

Αυτό δεν αποτελεί απόδειξη αλλά χρησιμεύει στο να "δούμε" που πρέπει να στραφούμε για να αποδείξουμε την άσκηση! Στο δικό μας Δ4 τώρα απόδειξη θα ήταν να ΔΕΙΧΝΑΜΕ και όχι να ΒΛΕΠΑΜΕ ότι το ένα εμβαδόν είναι μεγαλύτερο του άλλου! Π.χ. αριθμητικά, με ανισότητες, κλπ. Δηλ: το ένα εμβαδόν είναι μικρότερο του k και το άλλο μεγαλύτερο. Η απόδειξη αυτού λείπει!

Αποστόλης

kalafatis_kon · #125

7apostolis έγραψε:Καλησπέρα και πάλι,
χωρίς να θέλω να πείσω για την ορθότητα της άποψής μου, θα καταθέσω ένα ακόμα επιχείρημα:

Ερώτημα: Αν φ συνεχής και 1-1 στο [α, β] τότε η φ είναι γνησίως μονότονη σ' αυτό.
"Απάντηση": Προσπαθώ να ενώσω με μια συνεχή γραμμή τα σημεία (α, φ(α)) και (β, φ(β)) και παρατηρώ ότι για να είναι η φ 1-1, πρέπει η γραμμή να ανεβαίνει μόνο ή να κατεβαίνει μόνο. Άρα η φ γνησίως μονότονη.

Αυτό δεν αποτελεί απόδειξη αλλά χρησιμεύει στο να "δούμε" που πρέπει να στραφούμε για να αποδείξουμε την άσκηση! Στο δικό μας Δ4 τώρα απόδειξη θα ήταν να ΔΕΙΧΝΑΜΕ και όχι να ΒΛΕΠΑΜΕ ότι το ένα εμβαδόν είναι μεγαλύτερο του άλλου! Π.χ. αριθμητικά, με ανισότητες, κλπ. Δηλ: το ένα εμβαδόν είναι μικρότερο του k και το άλλο μεγαλύτερο. Η απόδειξη αυτού λείπει!

Αποστόλης

Απόστολε καλημέρα

δεν λείπει κατι απο την απόδειξη που πρέθεσε πιο πάνω κάποιος μαθητής έχουμε δύο χωρία του αθροίσματος ρίμαν τα οποία

είναι απόλυτα διατεταγμένα έχουν κοινή διαμέριση και οι τιμές της συνάρτησης στα χωρία αυτά έχουν σταθερή ανισοτική σχέση

Δές άθροισμα ρίμαν στο σχολικό βιβλίο...

hsiodos · #126

Μερικές- ακόμη- σκόρπιες σκέψεις για τα χθεσινά θέματα (Γιώργο Ρίζο σε αντιγράφω ... με την άδεια σου)

Κάθε χρόνο έχουμε ένα υπερβολικά μεγάλο ποσοστό μαθητών που γράφει κάτω από την βάση. Δεν γνωρίζω πόσο θα είναι το ποσοστό αυτό φέτος.
Το φαινόμενο αυτό δεν έχει να κάνει μόνο με τις γραπτές εξετάσεις και τον βαθμό δυσκολίας των θεμάτων . Είναι κυρίως αποτέλεσμα του γενικότερου συστήματος εκπαίδευσης στη χώρα μας , αλλά αυτό δεν είναι της ώρας.

Οι μαθητές μας με κλίση στα μαθηματικά μπορούν να αντιμετωπίζουν με επιτυχία ακόμα και ιδιαίτερης δυσκολίας θέματα. Σε αυξημένης δυσκολίας θέματα μπορούν να αντεπεξέλθουν και οι μαθητές μας που στην διάρκεια των χρόνων στο σχολείο(συν ιδιαίτερα, φροντιστήριο) έχουν αποκτήσει ''στέρεο'' μαθηματικό υπόβαθρο και έχουν αναπτύξει δεξιότητες ''αντάξιες'' του θεσμού των πανελληνίων. Δυστυχώς , είτε μας αρέσει είτε όχι , οι μαθητές μας αυτοί είναι μια μικρή μειοψηφία.
Φυσικά και χάρηκα για τους μαθητές μου-είχα την τύχη να συνεργαστώ μαζί τους- που χθες αρίστευσαν.

Υπάρχει όμως και η μεγάλη ''μάζα" μαθητών , οι αποκαλούμενοι ''μέτριοι'' . Που για πολλούς και διάφορους λόγους κουβαλούν τα ''κενά'' και τους ''φόβους'' τους στην Γ' Λυκείου. Αρκετοί από αυτούς στην πορεία τα παρατάνε , να πάρω παραπάνω μονάδες στην ΑΟΔΕ σου λένε αφού στα ''καταραμένα'' Μαθηματικά δεν πρόκειται να γράψω. Κάποιοι άλλοι ''τα δίνουν όλα'' για να μπορέσουν να ''τσιμπήσουν'' το δεκαράκι ,άντε και λίγο πιο πάνω, να πιάσουν κάποια σχολή μπας και έτσι αδράξουν το μέλλον.
Οι μαθητές μας αυτοί θέλουν και την μεγαλύτερη βοήθεια από μας. Ειδικά σχέδια για να μην χάσουμε μόρια από την θεωρία. Άντε να πάρουμε όλο το θέμα των μιγαδικών. Να εμπεδώσουμε όσο γίνεται περισσότερο τα βασικά της ανάλυσης για να πάρουμε ότι μπορούμε περισσότερο από το τρίτο και τέταρτο θέμα. Και την ώρα της λιποψυχίας εκεί που πάμε να τα παρατήσουμε να γινόμαστε Αλέφαντοι , '' άντε γερά να τα δώσουμε όλα στο γήπεδο'' , τόση προσπάθεια δεν θα πάει χαμένη.

Λοιπόν χθες χάρηκα περισσότερο για τους '' μέτριους'' μαθητές μου που κατάφεραν (περισσότεροι από κάθε άλλη χρονιά , δεν γνωρίζω αν είναι έτσι γενικότερα)
όχι μόνο να ''τσιμπήσουν'' το δεκαράκι αλλά και κάμποσες μοναδούλες ακόμα. Χάρηκα που είδαν ότι η προσπάθειά τους απέδωσε. Που κατάλαβαν πως το ''Τέρας'' δεν είναι και τόσο αποκρουστικό.

Και μόνο από αυτή την άποψη κρίνω τα θέματα πετυχημένα. Ναι δεν κάλυπταν όλη την ύλη(σε 4 θέματα μπορεί να γίνει αυτό με ωραίο τρόπο;) , ναι δεν υπήρχαν όρια ή βασικά (και αγαπημένα της ύπαρξης μας) θεωρήματα της ανάλυσης. Υπήρχαν τις προηγούμενες χρονιές. Θα υπάρξουν στις επόμενες ,όσο διαρκεί αυτό το σύστημα. Ήταν θέματα που κάλυπταν μεγάλο εύρος της ύλης , ''γήινα'' , με αναφορές-όπως πρέπει- στο σχολικό βιβλίο , που επέτρεπαν η προσπάθεια να καρποφορήσει και όχι να πέσει στο κενό. Υπήρξαν και τα ερωτήματα για να ξεχωρίσουν όσο γίνεται οι καλύτεροι.
Προσωπικά δίνω συγχαρητήρια στους θεματοδότες και εύχομαι να διατηρηθεί ένα τέτοιο επίπεδο στα θέματα των πανελληνίων.

**** Σχετικά με την συζήτηση για το Δ3 . Το έχουμε ξανασυζητήσει παλαιότερα και πάλι τώρα γίνεται ολόκληρη συζήτηση.Τι να πουν οι -αρκετοί- μαθητές μας που χρησιμοποίησαν τον τύπο λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης;
Επειδή επίκειται η βαθμολόγηση των γραπτών νομίζω πρέπει να τους καθ ησυχάσουμε. Κατά την γνώμη μου δεν είναι λάθος , χρειάζεται βέβαια προσοχή στην διατύπωση και σωστή αιτιολόγηση για την απορριπτέα ρίζα.

Γιώργος

Α.Κυριακόπουλος · #127

A.Spyridakis έγραψε: K. Αντώνη, δεν καταλαβαίνω το συλλογισμό σας. Ακόμα και στο παράδειγμα που δίνετε, αν κάποιος προσπαθήσει να "λύσει" κανονικά τη δευτεροβάθμια (βρίσκοντας δλδ τον χ συναρτήσει του εαυτού του) , θα καταλήξει (με κάποιες πράξεις, ομολογουμένως) απλώς στην ΙΔΙΑ (αρχική) εξίσωση. Δεν θα έχει κάνει λοιπόν τίποτα παραπάνω από μια τρύπα στο νερό. Αυτό όμως σημαίνει ότι έκανε κάποιο λάθος? Εκτός τη λογική (που φυσικά δεν αμφισβητώ) και την εφαρμογή των ποσοδεικτών, και δεδομένου ότι ο τρόπος της διακρίνουσας είναι στην ουσία μια προσθαφαίρεση τετραγώνων, πότε ΔΕΝ θα "βγαίνει" -συμπτωματικά- το σωστό αποτέλεσμα?

• Αν κάνει αυτά που λες, δεν θα έχει κάνει μόνο μια τρύπα στο νερό, όπως λες, αλλά θα έχει κάνει και μια τεράστια τρύπα στη λογική του, αφού ταυτοχρόνως το x θα το θεωρεί και άγνωστο και γνωστό( στους συντελεστές).
• Στην περίπτωσή μας δεν πρόκειται για μια εξίσωση, αλλά για μια πρόταση, αφού μπροστά υπάρχει ποδείκτης. Δεν είναι το θέμα η προσθαφαίρεση. Το θέμα είναι η γενικότερη αντιμετώπιση. Και να καταλαβαίνουμε τι λέμε και τι κάνουμε και όχι να μιλάμε στον αέρα και για ανύπαρκτες εξισώσεις.
Φιλικά.

achilleas έγραψε: Διαφωνώ μαζί σας! Η απάντηση του Αλέξανδρου είναι απόλυτα σωστή.
Το "αντιπαράδειγμα" που δίνεται στο (1) δεν αποτελεί αντιπαράδειγμα στη μέθοδο του Αλέξανδρου, ο οποίος έχει γράψει πολύ προσεκτικά τη λύση κι επιτρέψτε μου να πω πως δεν περνά κανένα λανθασμένο μήνυμα.

Θέλουμε να βρούμε το , για κάθε .

Σταθεροποιούμε ένα . Τότε το είναι λύση της εξίσωσης

Δεν υπάρχει πρόβλημα λύσης της χρησιμοποιώντας διακρίνουσα αφού οι συντελεστές είναι σταθεροί. Στο ¨"αντιπαράδειγμα" σας οι συντελεστές δεν είναι.

Μετά όπως επιχειρηματολογεί ο Αλέξανδρος βρίσκοθυμε τον τύπο της για κάθε .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Διαφώνησε μαζί μου όσο θέλεις, αλλά πρέπει να σκεφτείς ότι όταν σταθεροποιήσεις το x, τότε αυτομάτως σταθεροποιείται και το y=f(x) και επομένως για ποια εξίσωση μιλάς;
Φιλικά.

achilleas έγραψε:
Μάκη, η χρήση της διακρίνουσας έτσι πως διατυπώθηκε είναι *απόλυτα* σωστή.
Δεν είχα παρακολουθήσει τον προηγούμενο προβληματισμό του forum, αλλά η απάντηση π.χ. του dement θέτει το ζήτημα στη σωστή του βάση.
Όπως έγραφα και πιο πριν, σταθεροποιούμε το . Πες, . Που είναι το πρόβλημα να βρούμε
το χρησιμοποιώντας διακρίνουσα; (Απ. πουθενά!).
Αν το κάνουμε "για κάθε 2010" παίρνουμε τις πιθανές τιμές τους. Μετά συνεχίζουμε ανάλογα με το πρόβλημα.
Νομίζω, αδίκως, κάνουμε ένα προφανές ζήτημα πιο μεγάλο από ότι πράγματι είναι.
Πως θα σκέφτεται ένα μαθητής διαβάζοντας τα παραπάνω;
"Αν αυτό μπερδεύει *επαγγελματίες* έμπειρους μαθηματικούς, τότε εμείς τι να κάνουμε;"
Φιλικά,
Αχιλλέας

Επαναλαμβάνεις ότι το θέμα λύνεται με το να σταθεροποιήσουμε το x. Αλλά, όπως είπα και παραπάνω, τότε δεν υπάρχει εξίσωση. Από αυτό και μόνο φαίνεται πόσo επιφανειακά αντιμετωπίζεις το πρόβλημα. Έστω και αν νομίζεις ότι αυτοί με τους οποίους διαφωνείς είναι «μπερδεμένοι», εντελώς καλοπροαίρετα, θα σου έλεγα να διαβάσεις προσεκτικά και να αναλύσεις σε βάθος το πρώτο μου μήνυμα με τίτλο
« Επειδή δεν πρέπει να περνάνε λανθασμένα μηνύματα». Βέβαια χρειάζονται γνώσεις Μαθηματικής Λογικής και κυρίως γνώσεις θεωρίας ποσοδεικτών, τις οποίες φαντάζομαι να έχεις ( γιατί διαφορετικά δεν πρόκειται να συνεννοηθούμε).
Φιλικά.

cretanman έγραψε: Λέτε
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:1) Ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχει αποδειχθεί και ισχύει μόνο όταν οι συντελεστές α, β και γ (α όχι 0) είναι δοσμένοι πραγματικοί αριθμοί, ανεξάρτητοι του . Για παράδειγμα, για να λύσουμε την εξίσωση: $\displaystyle{7{x^5} - 3{x^3} + 5x - 2 = 0}$ , μπορούμε να την γράψουμε: $\displaystyle{(7{x^3}){x^2} - (3{x^2})x + (5x - 2) = 0}$ και να εφαρμόσουμε τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με: $\displaystyle{\alpha = 7{x^3},\beta = - (3{x^2})}$ και $\displaystyle{\gamma = 5x - 2}$ ;;;
με το οποίο δε συμφωνώ. Ο λόγος είναι ότι η
$a(x)x^2+b(x)x+c(x)=0 \ \ (1)$ είναι ισοδύναμη με την $\left( x=\frac{-b(x)+\sqrt{b^2(x)-4a(x)c(x)}}{2a(x)} \ \ \acute{\eta} \ \ x=\frac{-b(x)-\sqrt{b^2(x)-4a(x)c(x)}}{2a(x)} \right) \ \ (2)$ ανεξάρτητα από το γεγονός ότι αν η είναι μία εξίσωση τότε δε μπορούμε να τη λύσουμε με τη βοήθεια των άλλων μορφών της αν οι δεν είναι σταθεροί αριθμοί. Για να δώσω ένα πιο απλό παράδειγμα από το δικό σας για να είναι πιο γρήγορες οι πράξεις:

Τι μας εμποδίζει την εξίσωση να τη γράψουμε σαν θεωρώντας τη σαν δευτεροβάθμια με $a(x)=x, b(x)=-2x, c(x)=3, \ \Delta=4x^2-12x$ και μετά να πούμε ότι

$x=\frac{2x+\sqrt{4x^2-12x}}{2x}$ ή $x=\frac{2x-\sqrt{4x^2-12x}}{2x}$ ;;;

Απολύτως τίποτε!!

Το μόνο που καταφέραμε είναι απλά να εκφράσουμε το x σαν συνάρτηση του x χωρίς όμως να καταφέρουμε να λύσουμε την εξίσωση (Πρόβλημά μας που την είδαμε ως δευτεροβάθμια... όμως ο παραπάνω μετασχηματισμός της αρχικής εξίσωσης ισχύει).

Όσον αφορά τους ποσοδείκτες νομίζω ότι έδωσα αρκετή προσοχή στον επιμερισμό του συμβόλου "για κάθε" ο οποίος δεν υφίσταται. Θέλω να πω ότι στη λύση μου γράφω:

cretanman έγραψε:για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει

$f(x)=x+\sqrt{x^2+9}$ ή $f(x)=x-\sqrt{x^2+9}$
(εννοώντας φυσικά ότι για κάποια x μπορεί να ισχύει $f(x)=x+\sqrt{x^2+9}$ και ότι για κάποια άλλα x μπορεί να ισχύει $f(x)=x-\sqrt{x^2+9}$ )

όμως παρακάτω αποδεικνύω ότι δεν μπορεί να υπάρχει κανένα για το οποίο να ισχύει $f(x_0)=x_0-\sqrt{x_0^2+9}$ . Συνεπώς για όλα τα $x\in\mathbb{R}$ ισχύει $f(x)=x+\sqrt{x^2+9}$ .

Mε φιλική διάθεση,

Αλέξανδρος

Αλέξανδρε είναι δεδομένο ότι μιλάμε με φιλική διάθεση.
1) Σε ποιο βιβλίο ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχει αποδειχθεί ότι ισχύει όταν οι συντελεστές είναι και αυτοί συναρτήσεις του x; Mα τότε η εξίσωση αυτή δεν θα ήταν δευτέρου βαθμού!
2) Όταν κάναμε κάτι στα μαθηματικά πρέπει να έχει νόημα και σκοπό. Τι νόημα έχει
να εκφράσουμε το x σαν συνάρτηση του x; Kαι σε έναν τέτοιο μετασχηματισμό που κανείς για ποια x μιλάμε; (Αφού υπεισέρχονται και ριζικά και εμείς είμαστε στην Πραγματική Ανάλυση στην οποία δεν υπάρχουν Μιγαδικοί οι αριθμοί).
3) H σχέση που καταλήγουμε στο θέμα Δ3: $\displaystyle{{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}$
δεν είναι μια εξίσωση, αφού εννοούμε ότι: $\displaystyle{\forall x \in R,{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}$ . Είναι μια (ποσοδεικτική) πρόταση και επομένως δεν εφαρμόζεται τίποτα από τη θεωρία των εξισώσεων.
Αλέξανδρε. Το θέμα δεν είναι επιφανειακό όπως φαίνεται.
Φιλικά.

k-ser έγραψε:Αγαπητέ Αντώνη. Έχεις δίκιο όσον αφορά τη διατύπωση αλλά γιατί να μην μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης;
Δεν πρέπει να θεωρούμε την σχέση αυτή σαν εξίσωση δευτέρου βαθμού.
Θεωρώ όμως ότι δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα με την παρακάτω διατύπωση και λύση, η οποία χρησιμοποιεί τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης....

Είναι $\displaystyle{{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}, \forall x \in \mathbb{R} \ \ \ (1)$ .

Έστω $x \in \mathbb{R}$ .
Ο αριθμός είναι ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: $\displaystyle y^2-2xy-9=0$ , η οποία έχει ρίζες τις $\displaystyle y=x \pm \sqrt{x^2+9}$ .

Συνεπώς, η ισότητα είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle f(x)=x \pm \sqrt{x^2+9}, \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ .

Με εκτίμηση.

Κώστα.
Φοβάμαι ότι κανείς το ίδιο λάθος με τον Αχιλλέα.
1) Όταν δόσεις στο x μια τιμή, τότε και το y=f(x) είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός και επομένως δεν υπάρχει εξίσωση.
2) Η έκφραση (1) που γράφεις παραπάνω, είναι μια πρόταση ( αυτό φαίνεται καλύτερα όταν την γράψεις με μεγαλύτερη αυστηρότερα, δηλαδή το $\displaystyle{\forall x \in R}$ να το γράψεις μπροστά). Έτσι, εδώ πρέπει να εφαρμόσουμε τους νόμους των ποσοδεικτών.
• Κώστα. Δεν υπάρχει περίπτωση κάποιος να καταλάβει τι λέω, όταν τη σχέση (1) που γράφεις παραπάνω την βλέπει σαν εξίσωση( άλλο Κοζάνη και άλλο Λοζάνη). Πολύ φοβάμαι ότι αυτό συμβαίνει με αυτούς που διαφωνούν μαζί μου. Εκτός αν έτσι το έχουν διδάξει στους μαθητές τους και φοβούνται μήπως οι βαθμολογητές το πάρουν λάθος. Δεν πρέπει όμως να ανησυχούν, γιατί θέλω να πιστεύω ότι οι βαθμολογητές δεν θα το πάρουν λάθος.
Φιλικά.

A.Spyridakis · #128

Α.Spyridakis έγραψε: Εκτός τη λογική (που φυσικά δεν αμφισβητώ) και την εφαρμογή των ποσοδεικτών, και δεδομένου ότι ο τρόπος της διακρίνουσας είναι στην ουσία μια προσθαφαίρεση τετραγώνων, πότε ΔΕΝ θα "βγαίνει" -συμπτωματικά- το σωστό αποτέλεσμα?

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
• Αν κάνει αυτά που λες, δεν θα έχει κάνει μόνο μια τρύπα στο νερό, όπως λες, αλλά θα έχει κάνει και μια τεράστια τρύπα στη λογική του, αφού ταυτοχρόνως το x θα το θεωρεί και άγνωστο και γνωστό( στους συντελεστές).
• Στην περίπτωσή μας δεν πρόκειται για μια εξίσωση, αλλά για μια πρόταση, αφού μπροστά υπάρχει ποδείκτης. Δεν είναι το θέμα η προσθαφαίρεση. Το θέμα είναι η γενικότερη αντιμετώπιση. Και να καταλαβαίνουμε τι λέμε και τι κάνουμε και όχι να μιλάμε στον αέρα και για ανύπαρκτες εξισώσεις.
Φιλικά.

Παρ' όλ'α αυτά κ. Αντώνη, δεν απαντήσατε στην ερώτησή μου.

#129

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
achilleas έγραψε: Διαφωνώ μαζί σας! Η απάντηση του Αλέξανδρου είναι απόλυτα σωστή.
Το "αντιπαράδειγμα" που δίνεται στο (1) δεν αποτελεί αντιπαράδειγμα στη μέθοδο του Αλέξανδρου, ο οποίος έχει γράψει πολύ προσεκτικά τη λύση κι επιτρέψτε μου να πω πως δεν περνά κανένα λανθασμένο μήνυμα.

Θέλουμε να βρούμε το , για κάθε .

Σταθεροποιούμε ένα . Τότε το είναι λύση της εξίσωσης

Δεν υπάρχει πρόβλημα λύσης της χρησιμοποιώντας διακρίνουσα αφού οι συντελεστές είναι σταθεροί. Στο ¨"αντιπαράδειγμα" σας οι συντελεστές δεν είναι.

Μετά όπως επιχειρηματολογεί ο Αλέξανδρος βρίσκοθυμε τον τύπο της για κάθε .

Φιλικά,

Αχιλλέας
Διαφώνησε μαζί μου όσο θέλεις, αλλά πρέπει να σκεφτείς ότι όταν σταθεροποιήσεις το x, τότε αυτομάτως σταθεροποιείται και το y=f(x) και επομένως για ποια εξίσωση μιλάς;
Φιλικά.

achilleas έγραψε:
Μάκη, η χρήση της διακρίνουσας έτσι πως διατυπώθηκε είναι *απόλυτα* σωστή.
Δεν είχα παρακολουθήσει τον προηγούμενο προβληματισμό του forum, αλλά η απάντηση π.χ. του dement θέτει το ζήτημα στη σωστή του βάση.
Όπως έγραφα και πιο πριν, σταθεροποιούμε το . Πες, . Που είναι το πρόβλημα να βρούμε
το χρησιμοποιώντας διακρίνουσα; (Απ. πουθενά!).
Αν το κάνουμε "για κάθε 2010" παίρνουμε τις πιθανές τιμές τους. Μετά συνεχίζουμε ανάλογα με το πρόβλημα.
Νομίζω, αδίκως, κάνουμε ένα προφανές ζήτημα πιο μεγάλο από ότι πράγματι είναι.
Πως θα σκέφτεται ένα μαθητής διαβάζοντας τα παραπάνω;
"Αν αυτό μπερδεύει *επαγγελματίες* έμπειρους μαθηματικούς, τότε εμείς τι να κάνουμε;"
Φιλικά,
Αχιλλέας
Επαναλαμβάνεις ότι το θέμα λύνεται με το να σταθεροποιήσουμε το x. Αλλά, όπως είπα και παραπάνω, τότε δεν υπάρχει εξίσωση. Από αυτό και μόνο φαίνεται πόσo επιφανειακά αντιμετωπίζεις το πρόβλημα. Έστω και αν νομίζεις ότι αυτοί με τους οποίους διαφωνείς είναι «μπερδεμένοι», εντελώς καλοπροαίρετα, θα σου έλεγα να διαβάσεις προσεκτικά και να αναλύσεις σε βάθος το πρώτο μου μήνυμα με τίτλο
« Επειδή δεν πρέπει να περνάνε λανθασμένα μηνύματα». Βέβαια χρειάζονται γνώσεις Μαθηματικής Λογικής και κυρίως γνώσεις θεωρίας ποσοδεικτών, τις οποίες φαντάζομαι να έχεις ( γιατί διαφορετικά δεν πρόκειται να συνεννοηθούμε).
Φιλικά.

Γιατί δεν έχουμε εξίσωση όταν σταθεροποιούμε το

?
Ας υποθέσουμε ότι θέλαμε να βρούμε το f(2010)

μόνο.

Που είναι το λάθος να χρησιμοποιήσουμε διακρίνουσα στη λύση της

f(2010)^2-4020f(2010)-9=0

?

(Φυσικά, την ακριβή τιμή του f(2010)

δε μπορούμε να τη βρούμε μόνο με διακρίνουσα. Πρέπει με κάποιο τρόπο να μπορύμε να αποκλείσουμε τη μια τιμή).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Κώστας Μαλλιάκας · #130

Καλημέρα σε όλα τα μέλη και από εμένα και συγχαρητήρια σε όλους για την σπουδαία μαθηματική συζήτηση που μας προσφέρουν είτε συμφωνούν είτε διαφωνούν. Έγραψα χθες μόλις γύρισα από το ειδικό Βαθμολογικό που εξέταζα ένα μήνυμα αλλά δυστυχώς κάποιο λάθος έκανα και δεν δημοσιεύθηκε και ήταν αρκετά μεγάλο. Στο ενδιάμεσο χρόνο πολλά έχουν ήδη ειπωθεί και δεν θέλω να κουράσω και να κουραστώ ξανά να τα ξαναγράφω αλλά απλά θα σταθώ σε ορισμένα από αυτά. Αρχικά με την λύση του Αλέξανδρου στον οποίο έστειλα και προσωπικό μήνυμα νομίζω ότι υπάρχει ένα θεματάκι και έχω και εγώ τις επιφυλάξεις μου. Είμαι προς την άποψη του κ. Κυριακόπουλου ( όχι όμως ότι μεταφέρονται λανθασμένα μηνύματα γιατί αυτά τα μηνύματα μας ξυπνούν και μας κάνουν να αναθεωρούμε πολλά πράγματα και για αυτό προσφέρουν γνώσεις σε όλους μας) αλλά έχω και τις επιφυλάξεις μου και εξηγώ:Και εγώ σαν επιχείρημα θέτω ότι είναι μια σχέση που ισχύει για μια συνάρτηση και όχι εξίσωση πολυωνυμική δευτέρου βαθμού όπου εκεί και μόνο εκεί έχει νόημα ο τύπος λύσης.Είναι σαν να θέτουμε f(x)=y αλλά θα έπρεπε και το x να αντικατασταθεί σε σχέση με το x όπως γίνεται εξάλλου σε όλες τις εξισώσεις που λύνουμε με μετασχηματισμό (θέτω ...) μιας και είναι και αυτός άγνωστος που επηρεάζει και τον άλλο άγνωστο y. Ουσιαστικά με τον τύπο λύσης παραγοντοποιούμε στην μορφή ΑΒ=0 και λύνουμε Α=0 ή Β=0 πράγμα που δεν ισχύει στις συναρτήσεις αφού μπορεί f(x)g(x)=0 χωρίς καμιά να είναι η μηδενική. Ο τύπος λύσης ισχύει για ακέραια πολυώνυμα και όχι λοιπόν για συναρτήσεις ή αλλιώς το σύνολο των συναρτήσεων δεν έχει τις ιδιότητες που πρέπει ώστε να έχουν νόημα όλες οι ενέργειες που κάνουμε στους πραγματικούς αριθμούς (Σώμα...και κάτι από αυτά που έχω να τα δω από το σχολείο και το 1ο έτος) και εκέι νομίζω ότι είναι το πρόβλημα.Οι επιφυλάξεις μου είναι μήπως υπάρχει τρόπος να ξεπεραστεί το πρόβλημα και να στέκει η λύση.Τώρα γιατί βγάζει σωστό αποτέλεσμα (με την προυπόθεση ότι υπάρχουν και οι εξηγήσεις που σωστά γράφει ο Αλέξανδρος;Ίσως γιατί τελικά η f(x) είναι 1-1 και αντιστρέψιμη και το κάθε x αντιστοιχεί σε ένα y και αντίστροφα οπότε δεν μπορούν να βγουν άλλες λύσεις εκτός από αυτές που πρέπει.Ας ψάξει κάποιος πιο ειδικός από εμένα στην θεωρία ομάδων...Πάντως εδώ στην Ρόδο είχα χθες αυτή την κουβέντα πριν μπω στο forum με τον παλιό δάσκαλο μου στα μαθηματικά ο οποίος αρχικά θεωρούσε σωστή την λύση με διακρίνουσα αλλά μετά από την συζήτηση μας άλλαξε γνώμη (βέβαια αύριο μπορεί να ξαναλλάξει... και αυτό μου αρέσει γιατί μπορεί να ξανααλλάξω και εγώ και να διαφωνούμε πάλι από αντίθετες πλευρές όπως κάναμε και τότε που με είχε μαθητή στο φροντιστήριο και αυτά είναι ωραία μηνύματα...).
ΑΛΛΟ ΘΕΜΑ:Τα φετινά τετράδια έχουν κουτάκια που μπαίνει η βαθμολογία ανά θέμα και ανά υποερώτημα και αυτό είναι πολύ σωστό γιατί σχεδόν μηδενίζεται η πιθανότητα να μπεί λάθος βαθμός λόγω της μη άθροισης μορίων από κάποιο υποερώτημα που παλιά ήταν συνηθισμένο λάθος.Άρα φυσιολογικά θα μειωθούν και αναβαθμολογήσεις και ο μόνος λόγος στα Μαθηματικά να υπάρχει διαφορά είναι η αυστηρότητα ή μη των επιχειρημάτων απόδειξης και η αποδοχή ή μη κάποιων λύσεων. Καλό είναι να αποφασιστεί σύντομα αυτό από τους επίσημους φορείς και να σταλούν σαφείς οδηγίες στα Βαθμολογικά αλλά και να γίνουν γνωστές και σε όλους μας για να μην εκτεθούμε στα παιδιά και να μην τα μπερδεύουμε. Ξέρω ότι γίνεται μια σοβαρή προσπάθεια από μέλη μας και ελπίζω να αποδώσει τα μέγιστα. Επίσης να γίνει στατιστική έρευνα ανά υποερώτημα ώστε να δούμε τελικά ποια είναι τα εύκολσ κσι ποισ τα δύσκολα θέματα για ένα μαθητή και όχι για ένα καθηγητή (σχολείου-φροντιστηρίου-επιτροπής εξετάσεων-συγγραφέα...). Η έρευνα να γίνει και είναι πιο εύκολο τώρα με αυτά τα τετράδια από επίσημο φορέα και να γίνει γνωστή σε όλους μας και όχι από κάποιους επιτήδειους που έχουν πρόσβαση στα στοιχεία και τα εμφανίσουν σαν εισηγήσεις σε συνέδρια κτλ (καταλαβαίνετε τι εννοώ...)
Ευχαριστώ και ξανά συγχαρητήρια σε όλους σας

#131

Κώστας Μαλλιάκας έγραψε:Καλημέρα σε όλα τα μέλη και από εμένα και συγχαρητήρια σε όλους για την σπουδαία μαθηματική συζήτηση που μας προσφέρουν είτε συμφωνούν είτε διαφωνούν. Έγραψα χθες μόλις γύρισα από το ειδικό Βαθμολογικό που εξέταζα ένα μήνυμα αλλά δυστυχώς κάποιο λάθος έκανα και δεν δημοσιεύθηκε και ήταν αρκετά μεγάλο. Στο ενδιάμεσο χρόνο πολλά έχουν ήδη ειπωθεί και δεν θέλω να κουράσω και να κουραστώ ξανά να τα ξαναγράφω αλλά απλά θα σταθώ σε ορισμένα από αυτά. Αρχικά με την λύση του Αλέξανδρου στον οποίο έστειλα και προσωπικό μήνυμα νομίζω ότι υπάρχει ένα θεματάκι και έχω και εγώ τις επιφυλάξεις μου. Είμαι προς την άποψη του κ. Κυριακόπουλου ( όχι όμως ότι μεταφέρονται λανθασμένα μηνύματα γιατί αυτά τα μηνύματα μας ξυπνούν και μας κάνουν να αναθεωρούμε πολλά πράγματα και για αυτό προσφέρουν γνώσεις σε όλους μας) αλλά έχω και τις επιφυλάξεις μου και εξηγώ:Και εγώ σαν επιχείρημα θέτω ότι είναι μια σχέση που ισχύει για μια συνάρτηση και όχι εξίσωση πολυωνυμική δευτέρου βαθμού όπου εκεί και μόνο εκεί έχει νόημα ο τύπος λύσης.Είναι σαν να θέτουμε f(x)=y αλλά θα έπρεπε και το x να αντικατασταθεί σε σχέση με το x όπως γίνεται εξάλλου σε όλες τις εξισώσεις που λύνουμε με μετασχηματισμό (θέτω ...) μιας και είναι και αυτός άγνωστος που επηρεάζει και τον άλλο άγνωστο y. Ουσιαστικά με τον τύπο λύσης παραγοντοποιούμε στην μορφή ΑΒ=0 και λύνουμε Α=0 ή Β=0 πράγμα που δεν ισχύει στις συναρτήσεις αφού μπορεί f(x)g(x)=0 χωρίς καμιά να είναι η μηδενική. Ο τύπος λύσης ισχύει για ακέραια πολυώνυμα και όχι λοιπόν για συναρτήσεις ή αλλιώς το σύνολο των συναρτήσεων δεν έχει τις ιδιότητες που πρέπει ώστε να έχουν νόημα όλες οι ενέργειες που κάνουμε στους πραγματικούς αριθμούς (Σώμα...και κάτι από αυτά που έχω να τα δω από το σχολείο και το 1ο έτος) και εκέι νομίζω ότι είναι το πρόβλημα.Οι επιφυλάξεις μου είναι μήπως υπάρχει τρόπος να ξεπεραστεί το πρόβλημα και να στέκει η λύση.Τώρα γιατί βγάζει σωστό αποτέλεσμα (με την προυπόθεση ότι υπάρχουν και οι εξηγήσεις που σωστά γράφει ο Αλέξανδρος;Ίσως γιατί τελικά η f(x) είναι 1-1 και αντιστρέψιμη και το κάθε x αντιστοιχεί σε ένα y και αντίστροφα οπότε δεν μπορούν να βγουν άλλες λύσεις εκτός από αυτές που πρέπει.Ας ψάξει κάποιος πιο ειδικός από εμένα στην θεωρία ομάδων...Πάντως εδώ στην Ρόδο είχα χθες αυτή την κουβέντα πριν μπω στο forum με τον παλιό δάσκαλο μου στα μαθηματικά ο οποίος αρχικά θεωρούσε σωστή την λύση με διακρίνουσα αλλά μετά από την συζήτηση μας άλλαξε γνώμη (βέβαια αύριο μπορεί να ξαναλλάξει... και αυτό μου αρέσει γιατί μπορεί να ξανααλλάξω και εγώ και να διαφωνούμε πάλι από αντίθετες πλευρές όπως κάναμε και τότε που με είχε μαθητή στο φροντιστήριο και αυτά είναι ωραία μηνύματα...).

Κώστα, η χρήση της διακρίνουσας από μόνη της επιτρέπεται αφού είναι ισοδύναμη με τη συμπλήρωση τετραγώνου, κ.τ.λ..

Όπως έγραψα και παραπάνω, αν γραφεί σωστά λύση, η χρήση της διακρίνουσας από μόνη της δεν την κάνει λάθος.

Φυσικά, έχει σημασία που θα βάλει κανείς το "για κάθε" ή αν χρησιμοποιήσει "αποκλειστική διάζευξη", κ.τ.λ.

Αλλά η χρήση της διακρίνουσας είναι απόλυτα σωστή. Εκεί είναι που επιμένω.

Φιλικά,

Αχιλλέας

7apostolis · #132

Καλημέρα Κώστα,
καταλαβαίνω απόλυτα τι λες, δεν διαφωνούμε,
απλά πρέπει να γραφεί η απόδειξη με τα αθροίσματα Riemann!
To σκέτο σχημα και η παρατήρηση ότι ισχύει το συμπέρασμα προφανώς, λέω δεν αρκούν.
Και το γράψιμο της απόδειξης με τα αθροίσματα δεν πιστεύω
ότι μπορεί να γίνει από όλους τους μαθητές!
Αποστόλης

manos1992 · #133

Aς απαντήσει κι ένας άσχετος από ποσοδείκτες!(εγώ δηλαδή)

έχουμε $\displaystyle f^2(x)-2xf(x)=9\Leftrightarrow f^2(x)-2xf(x)+x^2=9+x^2\Leftrightarrow (f(x)-x)^2=x^2+9....$

ετσι δεν προχωράει η απόδειξη της διακρίνουσας;; Πως σε μια εντελώς σχολική απόδειξη μπλέκονται τόσο σύνθετα εργαλεία;;
Και πάνω απ όλα δεν καταλβαίνω γιατί εφ όσων μπορώ να προχωρήσω με ισοδυναμίες και να βρω τον τύπο της διακρίνουσας, τελικά αυτό δεν είναι ισοδυναμία αλλά τρύπα στο νερό!!

Όσον αφορά την απόδειξη με το εμβαδό, (χωρίς να τασσομαι κατά της πανέξυπνης αυτής παρατήρησης) μπορεί πράγματι μια εποπτική θεώρηση του ζητουμενου να είναι μαθηματικά αυστηρή;;

ΥΓ:επειδή τώρα το θυμήθηκα, τι μας πειράζει να σταθεροποιήσουμε ένα x και έτσι να σταθεροποιησουμε και το y φυσικά, αφού μετά για το τυχόν x θα αναζητήσουμε το σωστό τύπο(ξεχωριστά για το καθένα);;

#134

Καλημέρα !

Μόλις τώρα έθεσα το ερώτημα για τη λύση αυτή και στους άλλους δύο συναδέλφους στο Σχολείο. Και οι δύο, πριν πω τη γνώμη, μου απάντησαν θετικά. Ο ένας μάλιστα, εξαιτερικά εφυής συνάδελφος με αυξημένη κρίση και χρόνια βαθμολογητής, μου είπε ότι μια τέτοια λύση από μαθητή είναι καλύτερη από αυτές που κάνουμε εμείς με όλα τα τεχνάσματα κλπ. Το γεγονός ότι το μυαλό του μαθηματικού δεν πάει σε μια τόσο απλή προσέγγιση, δεν μειώνει την αξία της προσέγγισης του μαθητή.
Να πω τώρα και την άποψή μου(προσωπική, μια και το θέμα δεν έχει συζητηθεί στην ολομέλεια των βαθμολογητών και έτσι δεν αφορά τη βαθμολόγηση) : Η γραφική λύση είναι νόμιμη σε όλα, μια και η γεωμετρική ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος , όχι μόνο περιγράφεται και τονίζεται στο σχολικό βιβλίο, αλλά είναι και η ιστορική ρίζα του ολοκληρώματος. Από αυτή την άποψη ο μαθητής δεν έκανε αυθαίρετη προσέγγιση, επειδή έτσι το βλέπει. Το αντίθετο : επεσήμανε αυτό που ξέρει και αυτό που όντως ισχύει.
Από την άλλη μεριά, μια άλλη απόδειξη του ερωτήματος αυτού , που θεωρεί τη συνάρτηση του α΄μέλους και βρίσκει τη μονοτονία της ,καταλήγει ακριβώς στην ίδια απόδειξη : στη σύγκριση των διαφορών :

f(x+1)-f(x) , f(x+2) - f(x+1)

Όμως και εδώ η αιτιολόγηση βασιζεται στη μονοτονία της f .Επομένως ο μαθητής, με τη γεωμετρική - ιστορική λύση που επινοεί και που είναι απαλαγμένη από κάθε τυποποιημένη σκέψη , επικυρώνει το έργο μας και με την απλότητά της μας κάνει να νοιώθουμε περήφανοι που διδάσκουμε και αναλύουμε τη θεωρία σε βάθος.
Ακόμα λοιπόν και αν μείνω στην τελευταία μου διαπίστωση και μόνο , αυτό για μένα είναι αρκετό για να δεχτώ τη λύση ενός διαγωνιζόμενου ως τελείως σωστή και μάλιστα συγχαίρω τον μαθητή, όσο και να μην ταιριάζει η λύση του στη δική μου αυστηρή απαίτηση.
Κατανοώ ωστόσο τις τυχόν επιφυλλάξεις μερικών συναδέλφων για αυτό που λέμε διαισθητική απόδειξη προσέγγιση, κάτι που πολλές φορές είναι λάθος, αλλά η περίπτωση που συζητάμε είναι τελείως διαφορετική και μαθηματικά ορθή(τόσο για μαθητές όσο και για μεταπτυχιακούς φοιτητές !).Επειδή αυτοί οι διάλογοι είναι πολύ χρήσιμοι και μας κάνουν πιο καλούς δασκάλους , μακρυά από δογματικό και απόλυτες θέσεις, θα σας πω ότι προχθές διάβαζα σε ξένο περιοδικό ένα άρθρο με τίτλο : '' όταν η διαίσθηση σε οδηγεί σε λάθος συμπέρασμα ''.
Λοιπόν, αυτό που ρωτούσε ο συντάκτης, απλό και σχολικό(θα το βάλω άλλη φορά) , έλεγες με τη διαίσθηση πως αποκλείεται να συμβαίνει. Και όμως στη συνέχεια δίνονταν παράδειγμα που αποδείκνυε ότι γινόταν.
Γενικά , οι γραφικές προσεγγίσεις , πρέπει να επιδιώκονται στο σχολείο, διότι αναπτύσσουν τη φυσική σκέψη και τη φαντασία. Από κει πέρα όμως και με ωραία παραδείγματα, πρέπει να δείχνουμε στους μαθητές μας ότι δεν αρκεί η διαίσθηση ή ενόραση ή ένα σχήμα, διότι ένα σχήμα ακυρώνει συχνά άπειρα σχήματα και το λάθος μπορεί να γίνει πολύ εύκολα.Αυτό είναι το σκεπτικό μου, σύμφωνα με το οποίο ακόμα και μια όχι τόσο '' καθαρή'' αποδειξη από μαθητή σε ένα θέμα , με κανει να είμαι επιεικής ή εντελώς θετικός.
Όλα αυτά είναι όπως είπα ωραίοι διάλογοι, όχι για να πείσουμε κάποιον για κάτι, αλλά για να του δείξουμε τι έχουμε στο μυαλό μας και να γίνουμε σοφότεροι ανταλλάσσοντας τις ιδέες μας.

Μπάμπης

G.Tsikaloudakis · #135

Γειά σας συνάδελφοι.
Το Δ4 είναι απλή εφαρμογή του ΘΜΤΟΛ το οποίο είναι εκτός ύλης.
Αναρωτιέμαι λοιπόν το λόγο που είναι εκτός ύλης το συγκεκριμένο θεώρημα.

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #136

Τελικά είναι;

Η λύση μαθητή μου,

Αν G μια αρχική της f, έχουμε:
$\displaystyle{\begin{gathered} \int_x^{x + 1} {f(t)dt = \frac{{G(x + 1) - G(x)}}{{x + 1 - x}} = G'(\xi ) = f(\xi )} \hfill \\ \int_{x + 1}^{x + 2} {f(t)dt = \frac{{G(x + 2) - G(x + 1)}}{{x + 2 - x - 1}} = G'(\lambda ) = f(\lambda )} \hfill \\ \end{gathered} }$

και επειδή f γνήσια αύξουσα και
$\displaystyle{x < \xi < x + 1 < \lambda < x + 2}$
έχουμε
$\displaystyle{f(\xi ) < f(\lambda ) \Rightarrow f(\xi ) < f(\lambda ) \Rightarrow \int_x^{x + 1} {f(t)dt < } \int_{x + 1}^{x + 2} {f(t)dt} }$ .

Βέβαια είχε διδαχθεί έμεσα το Θ.Μ.Τ.Ο.Λ
Θ.Ρ

#137

Αφού η δική μου ταπεινή άποψη για τη χρήση της διακρίνουσας δε γίνεται δεκτή, ελπίζω να γίνει του Vladimir Arnold, ενός εκ των μεγαλυτέρων μαθηματικών.

Δείτε στο βιβλίο του

Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, σελ. 28, όπου χρησιμοποιεί κανονικά τον τύπο της διακρίνουσας.

http://books.google.com/books?id=i-WJHn ... ion&f=true

Φιλικά,

Αχιλλέας

Χρήστος Λαζαρίδης · #138

Αγαπητοί φίλοι.

Τα θέματα των Μαθηματικών πέρασαν στην Ιστορία.
Ως συνήθως εξαντλήσαμε τις δυνατές λύσεις και διαφωνήσαμε για τους τρόπους.
Εκείνο που δεν κάναμε,πλην ελαχίστων εξαιρέσεων, είναι να μιλήσουμε για την "ποιότητα" των θεμάτων.
Ανακάλυπταν τους άριστους; Διαχώριζαν διαβασμένους-αδιάβαστους; Ήταν ωραία; Κάλυπταν την ύλη;
Πέτυχε η επιτροπή στο έργο της; Αξίζουν συγχαρητήρια;
Κατά τη γνώμη μου το πρώτο πράγμα, που πρέπει να αναφέρεται σε παρόμοια μηνύματα είναι η κριτική των θεμάτων.
Η γνώμη μου είναι ότι τα θέματα ήταν πολύ καλά. Ενστάσεις πάντα υπάρχουν.Όσοι έχουν ασχοληθεί με θέματα μεγάλης "εμβέλειας'' καταλαβαίνουν πολύ καλά τις δυσκολίες δημιουργίας ενός παρόμοιου διαγωνίσματος.

Φιλικά Χρήστος

#139

G.Tsikaloudakis έγραψε:Γειά σας συνάδελφοι.
Το Δ4 είναι απλή εφαρμογή του ΘΜΤΟΛ το οποίο είναι εκτός ύλης.
Αναρωτιέμαι λοιπόν το λόγο που είναι εκτός ύλης το συγκεκριμένο θεώρημα.

Όντως σκανδαλώδης η έξωση του ΘΜΤΟΛ, την στιγμή μάλιστα που επιδέχεται διδακτικώτατης γεωμετρικής ερμηνείας!!!

Γιώργος Μπαλόγλου

#140

gbaloglou έγραψε:Όντως σκανδαλώδης η έξωση του ΘΜΤΟΛ, την στιγμή μάλιστα που επιδέχεται διδακτικώτατης γεωμετρικής ερμηνείας!!!

Γιώργος Μπαλόγλου

Επι πλέον τα θεωρήματα μέσης τιμής για ολοκληρώματα είναι υπερβολικά χρήσιμα για τον υπολογισμό ορίων, άσχετα αν σιωπηρά γίνεται χρήση του αξιώματος επιλογής..και εμένα μου φαίνεται καφρίλα η εξαίρεση του ΘΜΤΟΛ

ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Μέλη σε σύνδεση