Βρείτε τη γωνία χ (7)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται $\Delta \widehat{\rm B}\Gamma = \Delta \widehat\Gamma {\rm B} = {6^ \circ }$ , ${\rm A}\widehat{\rm B}\Delta = {12^ \circ }$ και ${\rm A}\widehat\Gamma \Delta = {18^ \circ }$ . Βρείτε τη γωνία ${\rm B}\widehat{\rm A}\Delta = x$ .

: χ7.jpg (111.75 KiB) Προβλήθηκε 1181 φορές

#2

$\hat{DAC}=y,\,\,\,x+y=138^o$

$\displaystyle{\triangle ADB\longrightarrow \frac{BD}{\sin x}=\frac{AD}{\sin 12}\longrightarrow \frac{BD}{AD}=\frac{\sin x}{\sin 12} },\fbox 1$

$\displaystyle{\triangle ADC\longrightarrow \frac{CD}{\sin y}=\frac{AD}{\sin 18}\longrightarrow \frac{CD}{AD}=\frac{\sin y}{\sin 18}=\frac{\sin(138-x)}{\sin 18} },\fbox 2$

$\displaystyle{\fbox 1,\,\,\,\fbox 2 \longrightarrow \frac{\sin x}{\sin 12}=\frac{\sin(138-x)}{\sin 18} \longrightarrow \dots}$

πράξεις δεν έχω κάνει,(αν και θέλουν πολύ υπομονή θα κάνω μία προσπάθεια)

(Μιχάλη,μία μύγα τρέχει κάτω από το ''ruxumuxu'')

Ιστοσελίδα · #3

Καλησπέρα.
Να δώσω μια γεωμετρική λύση ελπίζοντας να ολοκληρωθεί η τριγωνομετρική λύση που ξεκίνησε η Φωτεινή.

Το τρίγωνο ΔΒΓ είναι ισοσκελές ( $\Delta \widehat{\rm B}\Gamma = \Delta \widehat\Gamma {\rm B} = {6^ \circ }$ ), άρα ΔΒ = ΔΓ. Με κέντρο Δ και ακτίνα ΔΒ σχεδιάζω κύκλο που προφανώς θα περνά απ’ το σημείο Γ. Προεκτείνω την ΒΑ και έστω Ε το σημείο τομής με τον κύκλο (Δ, ΔΒ). Το τρίγωνο ΔΒΕ είναι ισοσκελές (ΔΒ = ΔΕ σαν ακτίνες). Ομοίως προεκτείνω την πλευρά ΓΑ και το τρίγωνο ΔΓΖ θα είναι ισοσκελές. Η γωνία $\Gamma \widehat{\rm Z}{\rm E} = {18^ \circ }$ , σαν εγγεγραμμένη που βαίνει στο κυρτό τόξο ΕΓ στο οποίο βαίνει η γωνία $\Gamma \widehat{\rm B}{\rm A} = {12^ \circ } + {6^ \circ } = {18^ \circ }$ . Ομοίως η γωνία ${\rm Z}\widehat{\rm E}{\rm B} = {24^ \circ }$ μια που ${\rm Z}\widehat\Gamma {\rm B} = {18^ \circ } + {6^ \circ } = {24^ \circ }$ . Η γωνία $\Delta \widehat{\rm H}{\rm A} = {36^ \circ } + {24^ \circ } = {60^ \circ }$ σαν εξωτερική του τριγώνου ΗΖΕ. Αφού $\Delta \widehat{\rm Z}\Gamma = {\rm E}\widehat{\rm Z}\Gamma = {18^ \circ }$ , η ΖΑ θα είναι διχοτόμος της γωνίας ${\rm H}\widehat{\rm Z}{\rm E}$ στο τρίγωνο ΗΖΕ. Φέρνω και τις άλλες δύο διχοτόμους και έστω Θ το έγκεντρο του τριγώνου ΗΖΕ. Ισχύει ότι ${\rm A}\widehat\Theta {\rm E} = {18^ \circ } + {12^ \circ } = {30^ \circ }$ σαν εξωτερική γωνία του τριγώνου ΕΖΘ. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΕΘΗ και ΕΔΗ, (τα οποία έχουν ΕΗ κοινή, ${\rm E}\widehat{\rm H}\Theta = {\rm E}\widehat{\rm H}\Delta = {60^ \circ }$ και $\Theta \widehat{\rm E}{\rm H} = \Delta \widehat{\rm E}{\rm H} = {12^ \circ }$ ) επομένως είναι ίσα. Απ’ την ισότητα προκύπτει ότι ΕΘ = ΕΔ. Τα τρίγωνα ΕΘΑ και ΕΔΑ θα είναι ίσα (Π-Γ-Π), οπότε ${\rm E}\widehat\Delta {\rm A} = {30^ \circ }$ . Τέλος η γωνία χ είναι εξωτερική του τριγώνου ΑΔΕ, οπότε ${\rm B}\widehat{\rm A}\Delta = x = {30^ \circ } + {12^ \circ } = {42^ \circ }.$

: x7-solution.png (37.69 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Φωτεινή η μύγα εξαφανίστηκε...

#4

ας συνεχίσουμε...

$\displaystyle{\frac{sin x}{sin 12^o}=\frac{sin (138^o-x)}{sin 18^o}\leftrightarrow sin x\cdot sin 18^o=\sin 12^o \cdot sin (42^o+x)},\,\,\,$ ,ανοίγουμε το $,\,\,\,sin (42^o+x)$ και διαιρούμε με cos x

$\displaystyle{\epsilon\phi x=\frac{sin 12 \cdot sin 42}{sin 18 -sin 12 \cdot cos 42}=\frac{2\cdot sin 12 \cdot sin 42}{2\cdot sin 18-\color{red}{\bf 2\cdot sin 12 \cdot cos 42}}=\frac{2\cdot sin 12 \cdot sin 42}{2\cdot sin 18 -\color{red}{\bf sin 18}}=\frac{ 2\cdot sin 12 \cdot sin 42}{sin 18}=\frac{\color{red}{\bf 2\cdot sin 12 \cdot cos 42}}{\color{red}{\bf sin 18}}\cdot \frac{sin 42}{cos 42}=\epsilon\phi 42}$

$\boxed{x=42^o}$

χρησιμοποιήσαμε το : $\color{red}\bf 2\cdot sin 12\cdot cos 42 =sin 18$ ,που το απέδειξε ο/η matha

ΕΔΩ

Βρείτε τη γωνία χ (7)

Βρείτε τη γωνία χ (7)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (7)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (7)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (7)

Μέλη σε σύνδεση