Σταθερό σημείο συνάρτησης

#1

Αν $f:R\rightarrow R$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με f'(x)<0

, αποδείξτε ότι έχει ένα τουλάχιστον σταθερό σημείο.

#2

Η

θα είναι γνησίως φθίνουσα.

Ισχυρισμός: Yπάρχουν $a,b\in \mathbb{R}$ τέτοια ώστε f(a)<a

και

.

Απόδειξη: Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι f(x)>x

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Τότε

x<f(x)<f(1)

για κάθε

, άτοπο. (θέσατε.π.χ. x=f(1)>1

ή απλώς αφού $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} x=+\infty}$ ).

Ομοίως, καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι f(x)<x

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Τέλος, εφαρμόζουμε το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής για τη συνεχή συνάρτηση g(x)=f(x)-x

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Μια άλλη σκέψη.

Η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Έστω πως δεν έχει κανένα σταθερό σημείο.
Τότε

$\displaystyle{ f(x) \ne x }$

για κάθε χ πραγματικό.

Συνεπώς η συνάρτηση g με g(x)=f(x)-x, xπραγματικός διατηρεί πρόσημο, αφού είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ πως:

$\displaystyle{ f(x) - x > 0 }$

για κάθε χ πραγματικό.

Συνεπώς:

$\displaystyle{ f(x) > x }$

για κάθε χ πραγματικό.

Αρα :

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$

αφού

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty }$

Όμως παρατηρώ πως για χ>0 => f(x)<f(0) δηλαδή η f είναι άνω φραγμένη.

That's a contradiction (ευρωπαϊκά!).

Συνεπώς η f έχει τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο.

Όμοια λειτουργούμε και στην περίπτωση που f(x)-x<0 για κάθε χ πραγματικό.(εκεί θα χρειαστεί το όριο της f στο -οο)

#4

#5

Θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε και να δείξουμε ότι έχει ακριβώς ένα σταθερό σημείο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#6

Θάνο, νομίζω πως το συμπέρασμα του σταθερού σημείου μπορούμε να το πάρουμε και με ασθενέστερες υποθέσεις, αρκεί η συνάρτηση να είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ . Γιατί αν δεν υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ , ώστε f(x_0)=x_0

, τότε θα έχουμε $f(x)>x, \forall x\in \mathbb{R}$ (1) ή $f(x)<x, \forall x\in \mathbb{R}$ (2). Έστω πως ισχύει η (1), άρα f(f(x))<f(x)

, άτοπο. Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε το (2). Συνεπώς η ύπαρξη σταθερού σημείου είναι αυτονόητη. Επιπλέον επειδή η f(x)-x

είναι γνησίως φθίνουσα, το σταθερό σημείο είναι μοναδικό.
Φιλικά
Στο θέμα της μοναδικότητας βλέπω πως με πρόλαβε ο Αχιλλέας

#7

Γράφω μια πρόταση γρήγορα , γιατί παράλληλα μοντάρω και μια εργασία μου..

Αν υποθέσουμε πως είχε δύο σταθερά σημεία, ας έχουν αυτά τετμημένες x1,x2, αντιστοίχως τότε:

f(x1)=x1 και f(x2)=x2

Συνεπώς για τη g με g(x)=f(x)-x,x πραγματικός ισχύει το θεώρημα Rolle στο [x1,x2]

Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένας ξ στο (χ1,χ2) ώστε:

g '(ξ)=0 => f '(ξ)-1=0 => f'(ξ)=1

Άτοπο αφού f '(x)<0 για κάθε χ πραγματικό.

Σταθερό σημείο συνάρτησης

Σταθερό σημείο συνάρτησης

Re: Σταθερό σημείο συνάρτησης

Re: Σταθερό σημείο συνάρτησης

Re: Σταθερό σημείο συνάρτησης

Re: Σταθερό σημείο συνάρτησης

Re: Σταθερό σημείο συνάρτησης

Re: Σταθερό σημείο συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση