Φοβίζει ... αλλά θα αρέσει ! Ρίζες και εξίσωση !

#1

Αν o

είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος από το

και $f(n)= \frac {4n+ \sqrt {4n^2-1}}{\sqrt {2n+1} + \sqrt {2n-1}}$

να λυθεί στο $\mathbb N$ η εξίσωση

f(1)+f(2) + f(3) +... + f(n) = 364

Μπάμπης

(Είναι θέμα διαγωνισμού για Γυμνάσιο .Απ : n = 40 )

#2

Θέτουμε $x=\sqrt{2n+1}$ και $y=\sqrt{2n-1}$ . Τότε x^2-y^2=2

,

και $f(n)=\displaystyle\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}=\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}=\frac{x^3-y^3}{2}$
και τότε το άθροισμα $\displaystyle\sum_{i=1}^n f(n)$ είναι τηλεσκοπικό και τελικά ίσο με

$\displaystyle\frac{\left(\sqrt{2\cdot n +1}\right)^3}{2}-\frac{\left(\sqrt{2\cdot 1-1}\right)^3}{2}$ άρα πρέπει

$\left(\sqrt{2\cdot n +1}\right)^3=9^3$ άρα $\sqrt{2n+1}=9$ οπότε n=40

.

Αλέξανδρος

giannisn1990 · #3

Το πρωτο μέλος είναι ίσο με το άθροισμα $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{4k+\sqrt{4k^{2}-1}}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1}}=$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{(4k+\sqrt{4k^{2}-1})(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})}{2}=$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(2k+1)\sqrt{2k+1}-(2k-1)\sqrt{2k-1}$
το οποίο πλέον είναι τηλεσκοπικό άθροισμα και είναι ίσο με $\displaystyle \frac{1}{2}[(2n+1)\sqrt{2n+1}-1]$ και η αρχική εξίσωση παίρνει την μορφή $\sqrt{2n+1}^{3}=9^{3}$ και συνεπώς $\displaystyle n=40$

#4

...

Τσακάλια , πότε προλάβατε κιόλας ;

Εύγε , γιατί εμένα μου πήρε λίγο χρόνο να κάνω τις πράξεις !

Μπάμπης

nicolae · #5

Ρουμανία 2002, junior balkan tst

#6

nicolae έγραψε:Ρουμανία 2002, junior balkan tst

Το ξανάβαλαν φαίνεται και στον Calude 2008. Εκεί το είδα !

Καλημέρα - Μπάμπης

Φοβίζει ... αλλά θα αρέσει ! Ρίζες και εξίσωση !

Φοβίζει ... αλλά θα αρέσει ! Ρίζες και εξίσωση !

Re: Φοβίζει ... αλλά θα αρέσει ! Ρίζες και εξίσωση !

Re: Φοβίζει ... αλλά θα αρέσει ! Ρίζες και εξίσωση !

Re: Φοβίζει ... αλλά θα αρέσει ! Ρίζες και εξίσωση !

Re: Φοβίζει ... αλλά θα αρέσει ! Ρίζες και εξίσωση !

Re: Φοβίζει ... αλλά θα αρέσει ! Ρίζες και εξίσωση !

Μέλη σε σύνδεση