Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

#1

Διαβάζοντας το πάρα πολύ καλὀ περιοδικό ΦΙ του Βασίλη Βισκαδουράκη στο 5ο τεύχος σελίδα 234 βρήκα το παρακάτω, πολύ όμορφο κατά την γνώμη μου θέμα της εθνικής ολυμπιάδας του Ιράν
Έστω P(x),Q(x)

πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές του ίδιου βαθμού. Αν $P^{\prime}(x)Q(x)-Q^{\prime}(x)P(x)\ne 0 , \forall x\in R$ τότε δείξτε ότι $\forall a\in R$ τα πολυώνυμα P(x) , aP(x)+(1-a)Q(x)

έχουν το ίδιο πλήθος πραγματικών ριζών

#2

Νομίζω υπάρχει κάποιο πρόβλημα: Π.χ. P(x)=2x, Q(x) = x+1, a=-1.

Η συνθήκη P'Q - Q'P =/=0 μας δίνει ότι P και Q έχουν τον ίδιο βαθμό (άρα μάλλον δεν χρειάζεται να δοθεί στην εκφώνηση).

Αυτό που μπορώ να δείξω είναι ότι το αποτέλεσμα ισχύει για όλα τα α εκτός από το πολύ ένα.

#3

Έστω $Q(s_i)=0,i=1,2,...,m , P(r_i)=0, i=1,2,...,k ,degP=degQ=n\ge k,m$
Από την $P^{\prime }(x)Q(x)-Q^{\prime }(x)P(x)\ne 0$ (*) έχουμε ότι
1) Τα P,Q

δεν έχουν κοινή ρίζα
2) Τα P,Q

έχουν απλές ρίζες
3) άρα το

εχει σταθερό πρόσημα σε κάθε διάστημα $(-\infty,s_1), (s_1,s_2),...(s_m,+\infty)$ και μάλιστα αντίθετο του προηγουμένου του λόγω της 2)
4) Σε κάθε τέτοιο διάστημα προκύπτει ότι η P(x)/Q(x)

είναι γνήσια μονότονη αρκεί να διαιρέσουμε την (*) με Q^2(x)

και να λάβουμε υπ όψη μας το Θ.σταθερού πρόσημου για την συνεχή $(P(x)/Q(x))^{\prime}$
5) Αν το P(x)

δεν είχε ρίζα στο (s_1,s_2)

άρα και ούτε στο [s_1,s_2]

λόγω 1) θα είχε σταθερό πρόσημο στο διάστημα αυτό
6)Αν πάρουμε πλευρικά όρια όταν το $x\to s_1+ , x\to s_2-$ της συνάρτησης P(x)/Q(x)

θα προκύψουν και τα δυο ίσα με $\pm \infty$ άτοπο λόγω 4)
7) οπότε σε κάθε τέτοιο διάστημα το

έχει ρίζα , δηλαδή τουλάχιστον m-1 ρίζες , άρα $k\ge m-1$
8) Αντίστοιχα προκύπτει $m\ge k-1$
9) Τότε $-1\le m-k \le 1$
10)όμως n=m+2p αφού το πηλίκο της διαίρεσης του Q με το (x-s_1)...(x-s_m)

είναι πολυώνυμο χωρίς πραγματικές ρίζες άρα αρτίου βαθμού 2p
11)όμοια n=k+2q οπότε m-k=αρτιος=0 λόγω της 9)
Δηλαδή τα P,Q έχουν ίδιο αριθμό ριζών που αλληλοχωρίζονται
12) Θέτω H(x)=aP(x)+(1-a)Q(x)

τότε τα

έχουν όλα τους διαφορετικά πρόσημα λόγω 3) επομένως το H έχει τουλάχιστον k-1 ρίζες λόγω Bolzano
13) Oι ρίζες αυτές είναι μοναδικές διότι σε κάθε τέτοιο διάστημα H/Q=a(P/Q)+1-a=μονότονη και αν το Η είχε δυο ρίζες προκύπτει άτοπο
14)Ας υποθέσουμε μια διάταξη r_1<s_1<r_2<s_2<...<r_k<s_k

και ότι $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}P(x)=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}Q(x)=+\infty$ και $-\infty$ όταν $x\to -\infty$ τότε αν a(1-a)<0 , H(r_k)H(y)<0

για κατάλληλο y>s_k

ενώ αν

για κατάλληλο r_1<y<s_1

, άρα πάλι με Bolzano εξασφαλίζουμε ην κ ρίζα που μας έλειπε και που είναι μοναδική για ίδιο λόγο με την 13).
15) Ανάλογα μελετώνται και οι υπόλοιπες περιπτώσεις αν τα όρια των πολυωνύμων στα $\pm \infty$ ήταν διαφορετικά
16)Πρέπει να κάνω κάποιες παραδοχές για το α ,όπως τι γίνεται για α=1,α=0 και ο βαθμός του Η αν είναι n

Αυτά έχω σκεφτεί (δεν ξέρω κατά πόσον είναι σωστά) και νομίζω Δημήτρη ότι δεν θα χαλάσει η ομορφιά της άσκησης από το γεγονός ότι λείπει κάποιος περιορισμός του α .Δεν συμφωνείς;
Περιμένω την λύση σου

k-ser · #4

R BORIS έγραψε:Έστω $Q(s_i)=0,i=1,2,...,m , P(r_i)=0, i=1,2,...,k ,degP=degQ=n\ge k,m$
Από την $P^{\prime }(x)Q(x)-Q^{\prime }(x)P(x)\ne 0$ (*) έχουμε ότι
1) Τα δεν έχουν κοινή ρίζα
2) Τα έχουν απλές ρίζες

Ροδόλφε,
η σχέση (*) μας εξασφαλίζει τη μονοτονία μεταξύ των ριζών των P(x),Q(x)

των συναρτήσεων:
$\frac{Q(x)}{P(x)}$ , $\frac{P(x)}{Q(x)}$ αντίστοιχα.
Έτσι, κάθε μία από τις m ρίζες του Q(x) θα είναι μοναδική σε κάποιο από τα k+1 διαστήματα που χωρίζουν k οι ρίζες του P(x) το IR. Άρα θα πρέπει: $m \leq k+1$ (1)
Όμοια προκύπτει: $k \leq m+1$ (2)
Από τις (1), (2) προκύπτει ότι το πλήθος των ριζών των P(x),Q(x)

θα διαφέρουν κατά 1 ή 0. Δεν μπορεί όμως να διαφέρουν κατά 1 αφού τα πολυώνυμα είναι του ίδιου βαθμού.
Άρα τα έχουν το ίδιο πλήθος ριζών.

Για να δείξουμε τώρα ότι τα πολυώνυμα P(x), f(x)=αP(x)+(1-α)Q(x) έχουν το ίδιο πλήθος ριζών αρκεί να δείξουμε ότι ικανοποιούν την ίδια σχέση (*) την οποία ικανοποιούν και τα P(x), Q(x).
Αυτό προκύπτει εύκολα για $a \ne 1$ . Αν α=1 έχουμε f(x)=P(x).

Δυστυχώς, κάπου πρέπει να κάνω λάθος: υπάρχει το αντιπαράδειγμα του Δημήτρη!
Θα το ξανακοιτάξω.

...Το ξανακοίταξα:
το λάθος που κάνω - και το οποίο λογικά έκανε κι αυτός που έδωσε την άσκηση - είναι ότι δεν έλεγξα αν το f(x) είναι του ίδιου βαθμού με το P(x)
Απ' όπου προκύπτει και το αντιπαράδειγμα του Δημήτρη.

Μια προϋπόθεσή που θα μας κάλυπτε είναι : οι συντελεστές των μεγιστοβάθμιων όρων των P(x), Q(x) είναι ίσοι.

#5

Κώστα και Ροδόλφε απαντάω στα γρήγορα. Δεν έχω ακόμη διαβάσει λεπτομερώς αυτά που γράψατε αλλά η λύση του Κώστα φαίνεται παρόμοια με την δική μου. Αυτό που μπορούμε να προσέξουμε είναι ότι υπάρχει το πολύ μια τιμή του α για την οποία τα f,P δεν έχουν τον ίδιο βαθμό. (Και αν θυμάμαι καλά ακριβώς μία εκτός και αν τα P,Q έχουν τον ίδιο συντελεστή στον μεγιστοβάθμιο όρο.)

#6

Λοιπόν, τώρα που ξαναβλέπω την άσκηση, έχω μπερδευτεί ακόμη περισσότερο.

1) Επειδή το P'Q - Q'P είναι πολυώνυμο, θα πρέπει να είναι σταθερό. Άρα P'Q - Q'P = c για κάποιο c=/=0.

EDIT: Όπως σωστά παρατήρησε ο Κώστας, αυτό είναι λάθος.

2) Ας κοιτάξουμε ένα οποιοδήποτε διάστημα (α,β) στο οποίο το Q δεν έχει ρίζα. Σε αυτό το διάστημα έχουμε $(P/Q)^{\prime}(x) = c/Q(x)^2$ και ολοκληρώνοντας παίρνουμε P(x)/Q(x) = -c/Q(x) + d

, άρα

. Ας το βάλουμε τώρα αυτό στην αρχική συνθήκη. Παίρνουμε c = P'Q - Q'P = dQ'Q + cQ' -dQ'Q, άρα σε αυτό το διάστημα Q'(x) = 1 και άρα Q(x) = x + b και P(x) = dx + (db-c).

3) Τα P και Q έχουν ακριβώς μία ρίζα. Το aP + (1-a)Q έχει μία ρίζα αν και μόνο αν
- είτε d=1
- είτε $a \neq 1/(d-1)$

k-ser · #7

Demetres έγραψε:Λοιπόν, τώρα που ξαναβλέπω την άσκηση, έχω μπερδευτεί ακόμη περισσότερο.

1) Επειδή το P'Q - Q'P είναι πολυώνυμο, θα πρέπει να είναι σταθερό. Άρα P'Q - Q'P = c για κάποιο c=/=0.

Δημήτρη, γιατί να είναι σταθερό το P'Q - Q'P ;

Θεώρησε P(x)=x^2-2x

και

.

Μάλλον θεωρείς την περίπτωση που P, Q είναι 1ου βαθμού. Σ' αυτή τη περίπτωση ισχύει πάλι το ζητούμενο με την επιπλέον προϋπόθεση που δίνω. Για το λόγο αυτό καταλήγεις στο ζητούμενο όταν d=1.
Ακόμα, η επιπλέον προϋπόθεση που έδωσα, δεν είναι η μοναδική: μπορούμε να δώσουμε οτιδήποτε μας εξασφαλίζει ότι το f(x) θα είναι ίδιου βαθμού με το P(x).
Μπορούμε να βρούμε εύκολα τη γενικότερη σχέση που πρέπει να έχουν οι συντελεστές των μεγιστοβάθμιων όρων και το α έτσι ώστε το f(x) να είναι του ίδιου βαθμού με το P(x).

#8

k-ser έγραψε: Δημήτρη, γιατί να είναι σταθερό το P'Q - Q'P ;

Έχεις απόλυτο δίκιο. Όπως λένε εδώ στην Αγγλία, "You should not drink and derive".

#9

R BORIS έγραψε:Έστω $Q(s_i)=0,i=1,2,...,m , P(r_i)=0, i=1,2,...,k ,degP=degQ=n\ge k,m$
Από την $P^{\prime }(x)Q(x)-Q^{\prime }(x)P(x)\ne 0$ (*) έχουμε ότι
1) Τα δεν έχουν κοινή ρίζα
2) Τα έχουν απλές ρίζες
3) άρα το εχει σταθερό πρόσημα σε κάθε διάστημα $(-\infty,s_1), (s_1,s_2),...(s_m,+\infty)$ και μάλιστα αντίθετο του προηγουμένου του λόγω της 2)
4) Σε κάθε τέτοιο διάστημα προκύπτει ότι η είναι γνήσια μονότονη αρκεί να διαιρέσουμε την (*) με και να λάβουμε υπ όψη μας το Θ.σταθερού πρόσημου για την συνεχή $(P(x)/Q(x))^{\prime}$
5) Αν το δεν είχε ρίζα στο άρα και ούτε στο λόγω 1) θα είχε σταθερό πρόσημο στο διάστημα αυτό
6)Αν πάρουμε πλευρικά όρια όταν το $x\to s_1+ , x\to s_2-$ της συνάρτησης θα προκύψουν και τα δυο ίσα με $\pm \infty$ άτοπο λόγω 4)
7) οπότε σε κάθε τέτοιο διάστημα το έχει ρίζα , δηλαδή τουλάχιστον m-1 ρίζες , άρα $k\ge m-1$
8) Αντίστοιχα προκύπτει $m\ge k-1$
9) Τότε $-1\le m-k \le 1$
10)όμως n=m+2p αφού το πηλίκο της διαίρεσης του Q με το είναι πολυώνυμο χωρίς πραγματικές ρίζες άρα αρτίου βαθμού 2p
11)όμοια n=k+2q οπότε m-k=αρτιος=0 λόγω της 9)
Δηλαδή τα P,Q έχουν ίδιο αριθμό ριζών που αλληλοχωρίζονται

Mετἀ τις εύστοχες παρατηρήσεις του Δημήτρη και του Κώστα και για να έχουμε πιο σύντομη λύση που αποφεύγει την δική μου περιπτωσιολογία δεχόμαστε ότι τα P,Q έχουν ίδιο μεγιστοβάθμιο συντελεστή οπότε τα P,H είναι του ίδιου βαθμού n και για $a\ne 1$ είναι $P^{\prime }H-H^{\prime }P=(1-a)(P^{\prime }Q-Q^{\prime }P)\ne 0$ άρα τα P,Η έχουν ίδιο αριθμό ριζών που αλληλοχωρίζονται σύμφωνα με το προηγούμενο συμπέρασμα Για α=1 Η=Ρ οπότε ο ισχυρισμός αληθεύει

12) Θέτω τότε τα έχουν όλα τους διαφορετικά πρόσημα λόγω 3) επομένως το H έχει τουλάχιστον k-1 ρίζες λόγω Bolzano
13) Oι ρίζες αυτές είναι μοναδικές διότι σε κάθε τέτοιο διάστημα H/Q=a(P/Q)+1-a=μονότονη και αν το Η είχε δυο ρίζες προκύπτει άτοπο
14)Ας υποθέσουμε μια διάταξη και ότι $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}P(x)=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}Q(x)=+\infty$ και $-\infty$ όταν $x\to -\infty$ τότε αν για κατάλληλο ενώ αν
για κατάλληλο , άρα πάλι με Bolzano εξασφαλίζουμε ην κ ρίζα που μας έλειπε και που είναι μοναδική για ίδιο λόγο με την 13).
15) Ανάλογα μελετώνται και οι υπόλοιπες περιπτώσεις αν τα όρια των πολυωνύμων στα $\pm \infty$ ήταν διαφορετικά
16)Πρέπει να κάνω κάποιες παραδοχές για το α ,όπως τι γίνεται για α=1,α=0 και ο βαθμός του Η αν είναι n

Αυτά έχω σκεφτεί (δεν ξέρω κατά πόσον είναι σωστά) και νομίζω Δημήτρη ότι δεν θα χαλάσει η ομορφιά της άσκησης από το γεγονός ότι λείπει κάποιος περιορισμός του α .Δεν συμφωνείς;
Περιμένω την λύση σου

Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

Re: Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

Re: Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

Re: Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

Re: Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

Re: Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

Re: Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

Re: Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

Re: Από το ΦΙ και το Ιράν πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση