Σύστημα

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6911
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Ιουν 03, 2010 11:40 pm

Το σύστημα:

\displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 y = x^3  + 2x + 1 \\  
 z = y^3  + 2y + 1 \\  
 x = z^3  + 2z + 1 \\  
 \end{array} 
}

έχει

α) Καμμία λύση

β) Ακριβώς μια λύση

γ) Ακριβώς δύο λύσεις

δ) Ακριβώς τρείς λύσεις

(Μιλάμε πάντα στους πραγματικούς ε;; Το πιάσατε το υπονοούμενο,εεε; ;) )

Υ.Γ ΑλλΑγή στην επιλογή γ) γιατί έτσι όπως το είχα διατυπώσει αρχικά υπήρχε επικάλυψη. Τι να κάνω; Πρέπει να δώσω έναν ΑΣ-ΕΠΙΚΟ χαρακτήρα στην ασκηση μας.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Πέμ Ιουν 03, 2010 11:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Ιουν 03, 2010 11:52 pm

Η συνάρτηση f(x)=x^3+2x+1 είναι γνησίως αύξουσα.

Αν υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι ισχύει x\leq y\leq z ή x\leq z\leq y τότε παίρνουμε αντίστοιχα f(x)\leq f(y)\leq f(z) ή f(x)\leq f(z)\leq f(y) δηλαδή y\leq z\leq x ή y\leq x\leq z.

Άρα σε κάθε περίπτωση παίρνουμε x=y=z. Άρα τελικά έχουμε ακριβώς μία πραγματική λύση που προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης x^3+2x+1=x (η τελευταία εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση αφού η g(x)=x^3+x+1 είναι γνησίως αύξουσα).

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5591
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Ιουν 04, 2010 9:04 am

Σε τέτοιες περιπτώσεις μπορούμε να εφαρμόσουμε και την μέθοδο των «αντικρουόμενων διατάξεων» δηλαδή αν έχουμε \alpha  \leqslant \beta  \Rightarrow ... \Rightarrow \beta  \leqslant \alpha ,τότε α=β, αρκεί βέβαια να φέρουμε τις ισότητες σε κατάλληλη μορφή όπως στην περίπτωσή μας:
\left( {x - y} \right)\left( {\underbrace {x^2  + y^2  - xy + 2}_ + } \right) = y - z,\left( {y - z} \right)\left( {\underbrace {y^2  + z^2  - yz + 2}_ + } \right) = z - x, \left( {z - x} \right)\left( {\underbrace {z^2  + x^2  - zx + 2}_ + } \right) = x - y..... Ετσι καταλήγουμε στην ισότητα x=y=z και τελικά στην ανάγκη επίλυσης της εξίσωσης x^3  + x + 1 = 0.
Εδώ ας δούμε ενα τρόπο επίλυσης της εξίσωσης, x^3  + x + 1 = 0.
Θα την οδηγήσουμε σε επίλυση δυωνυμικής προσδιορίζοντας σταθερές α, β ώστε
\alpha  \ne \beta \;\kappa \alpha \iota \;\left( {\frac{{x - \alpha }} 
{{x - \beta }}} \right)^3  = \frac{\alpha } 
{\beta }\;\left( 1 \right)\;\mathop \eta \limits^. ...\mathop \eta \limits^. \;x^3  - 3\alpha \beta x + \alpha \beta \left( {\alpha  + \beta } \right) = 0.
Θεωρώντας την εκ ταυτότητας ισότητα
x^3  - 3\alpha \beta x + \alpha \beta \left( {\alpha  + \beta } \right) = x^3  + x + 1 \Rightarrow \alpha \beta  =  - \frac{1} 
{3}\;\kappa \alpha \iota \;\alpha  + \beta  =  - 3,
προσδιορίζοντας τα α, β επιλύουμε την (1)

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4023
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Ιουν 04, 2010 10:33 am

S.E.Louridas έγραψε: Εδώ ας δούμε ενα τρόπο επίλυσης της εξίσωσης, x^3  + x + 1 = 0.
Θα την οδηγήσουμε σε επίλυση δυωνυμικής προσδιορίζοντας σταθερές α, β ώστε
\alpha  \ne \beta \;\kappa \alpha \iota \;\left( {\frac{{x - \alpha }} 
{{x - \beta }}} \right)^3  = \frac{\alpha } 
{\beta }\;\left( 1 \right)\;\mathop \eta \limits^. ...\mathop \eta \limits^. \;x^3  - 3\alpha \beta x + \alpha \beta \left( {\alpha  + \beta } \right) = 0.
Προχωρώντας ένα βήμα παραπάνω, η εξίσωση x^3-\gamma x+\delta=0, (\gamma,\delta \neq 0) παίρνει την παραπάνω μορφή που έδωσε ο Σωτήρης (οπότε μπορεί να επιλυθεί με τον παραπάνω τρόπο), αν και μόνο αν η ποσότητα A=81\delta^2-12\gamma^3 είναι μη αρνητική

Στην περίπτωσή μας \gamma = -1 και \delta =1 άρα A=93>0 άρα μπορούμε να τη φέρουμε στην παραπάνω μορφή (1) που δίνει ο Σωτήρης παραπάνω κατ' επέκταση και να τη λύσουμε.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Math Rider
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2010 12:40 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Σύστημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Math Rider » Παρ Ιουν 04, 2010 11:03 am

Τρία ακόμα συστήματα (λίγο πιο σύνθετα) που λύνονται όμως με παρόμοιο τρόπο, έχουν προταθεί και απο τον κύριο Μ.Στεργίου εδώ:
viewtopic.php?f=61&t=2241
viewtopic.php?f=9&t=7064&p=40010#p40010
viewtopic.php?f=61&t=7167


Νίκος Κ.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5591
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Ιουν 04, 2010 11:38 am

Βεβαίως και ο Αλέξανδρος έχει δίκιο όταν μιλάμε γιά λύση στούς πραγματικούς πράγμα που ''απαιτεί'' ο Χρίστος.
Και έχει δίκιο γιά τη ταχύτερη 'διάγνωση' του θέματος.Ας επισημάνουμε οτι είναι συνθήκη προερχόμενη από την άγια,τελικά,Διακρίνουσα που έτσι και αλλιώς θα καταλήγαμε.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες