Σύστημα

#1

Το σύστημα:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} y = x^3 + 2x + 1 \\ z = y^3 + 2y + 1 \\ x = z^3 + 2z + 1 \\ \end{array} }$

έχει

α) Καμμία λύση

β) Ακριβώς μια λύση

γ) Ακριβώς δύο λύσεις

δ) Ακριβώς τρείς λύσεις

(Μιλάμε πάντα στους πραγματικούς ε;; Το πιάσατε το υπονοούμενο,εεε;

)

Υ.Γ ΑλλΑγή στην επιλογή γ) γιατί έτσι όπως το είχα διατυπώσει αρχικά υπήρχε επικάλυψη. Τι να κάνω; Πρέπει να δώσω έναν ΑΣ-ΕΠΙΚΟ χαρακτήρα στην ασκηση μας.

#2

Η συνάρτηση f(x)=x^3+2x+1

είναι γνησίως αύξουσα.

Αν υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι ισχύει $x\leq y\leq z$ ή $x\leq z\leq y$ τότε παίρνουμε αντίστοιχα $f(x)\leq f(y)\leq f(z)$ ή $f(x)\leq f(z)\leq f(y)$ δηλαδή $y\leq z\leq x$ ή $y\leq x\leq z$ .

Άρα σε κάθε περίπτωση παίρνουμε x=y=z

. Άρα τελικά έχουμε ακριβώς μία πραγματική λύση που προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης x^3+2x+1=x

(η τελευταία εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση αφού η g(x)=x^3+x+1

είναι γνησίως αύξουσα).

Αλέξανδρος

S.E.Louridas · #3

Σε τέτοιες περιπτώσεις μπορούμε να εφαρμόσουμε και την μέθοδο των «αντικρουόμενων διατάξεων» δηλαδή αν έχουμε $\alpha \leqslant \beta \Rightarrow ... \Rightarrow \beta \leqslant \alpha ,$ τότε α=β, αρκεί βέβαια να φέρουμε τις ισότητες σε κατάλληλη μορφή όπως στην περίπτωσή μας:
$\left( {x - y} \right)\left( {\underbrace {x^2 + y^2 - xy + 2}_ + } \right) = y - z,\left( {y - z} \right)\left( {\underbrace {y^2 + z^2 - yz + 2}_ + } \right) = z - x,$ $\left( {z - x} \right)\left( {\underbrace {z^2 + x^2 - zx + 2}_ + } \right) = x - y.....$ Ετσι καταλήγουμε στην ισότητα x=y=z και τελικά στην ανάγκη επίλυσης της εξίσωσης x^3 + x + 1 = 0.

Εδώ ας δούμε ενα τρόπο επίλυσης της εξίσωσης, x^3 + x + 1 = 0.

Θα την οδηγήσουμε σε επίλυση δυωνυμικής προσδιορίζοντας σταθερές α, β ώστε
$\alpha \ne \beta \;\kappa \alpha \iota \;\left( {\frac{{x - \alpha }} {{x - \beta }}} \right)^3 = \frac{\alpha } {\beta }\;\left( 1 \right)\;\mathop \eta \limits^. ...\mathop \eta \limits^. \;x^3 - 3\alpha \beta x + \alpha \beta \left( {\alpha + \beta } \right) = 0.$
Θεωρώντας την εκ ταυτότητας ισότητα
$x^3 - 3\alpha \beta x + \alpha \beta \left( {\alpha + \beta } \right) = x^3 + x + 1 \Rightarrow \alpha \beta = - \frac{1} {3}\;\kappa \alpha \iota \;\alpha + \beta = - 3,$
προσδιορίζοντας τα α, β επιλύουμε την (1)

S.E.Louridas

#4

S.E.Louridas έγραψε: Εδώ ας δούμε ενα τρόπο επίλυσης της εξίσωσης,
Θα την οδηγήσουμε σε επίλυση δυωνυμικής προσδιορίζοντας σταθερές α, β ώστε
$\alpha \ne \beta \;\kappa \alpha \iota \;\left( {\frac{{x - \alpha }} {{x - \beta }}} \right)^3 = \frac{\alpha } {\beta }\;\left( 1 \right)\;\mathop \eta \limits^. ...\mathop \eta \limits^. \;x^3 - 3\alpha \beta x + \alpha \beta \left( {\alpha + \beta } \right) = 0.$

Προχωρώντας ένα βήμα παραπάνω, η εξίσωση $x^3-\gamma x+\delta=0$ , ( $\gamma,\delta \neq 0$ ) παίρνει την παραπάνω μορφή που έδωσε ο Σωτήρης (οπότε μπορεί να επιλυθεί με τον παραπάνω τρόπο), αν και μόνο αν η ποσότητα $A=81\delta^2-12\gamma^3$ είναι μη αρνητική

Στην περίπτωσή μας $\gamma = -1$ και $\delta =1$ άρα A=93>0

άρα μπορούμε να τη φέρουμε στην παραπάνω μορφή (1) που δίνει ο Σωτήρης παραπάνω κατ' επέκταση και να τη λύσουμε.

Αλέξανδρος

Math Rider · #5

Τρία ακόμα συστήματα (λίγο πιο σύνθετα) που λύνονται όμως με παρόμοιο τρόπο, έχουν προταθεί και απο τον κύριο Μ.Στεργίου εδώ:
viewtopic.php?f=61&t=2241
viewtopic.php?f=9&t=7064&p=40010#p40010
viewtopic.php?f=61&t=7167

S.E.Louridas · #6

Βεβαίως και ο Αλέξανδρος έχει δίκιο όταν μιλάμε γιά λύση στούς πραγματικούς πράγμα που ''απαιτεί'' ο Χρίστος.
Και έχει δίκιο γιά τη ταχύτερη 'διάγνωση' του θέματος.Ας επισημάνουμε οτι είναι συνθήκη προερχόμενη από την άγια,τελικά,Διακρίνουσα που έτσι και αλλιώς θα καταλήγαμε.

S.E.Louridas

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση