Όριο ακολουθίας
Συντονιστής: Demetres
Re: Όριο ακολουθίας
Αχιλλέα το όριο κάνει 0 μήπως αν όχι στείλε μου πμ να το σβήσω. Αλλιώς θα γράψω μια σκέψη.
What's wrong with a Greek in Hamburg?
Re: Όριο ακολουθίας
Εαν σπασω το οριο στα δυο μελη η παρανθεση δινει e^n αρα e^(-n)*e^(n)=1.
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
Re: Όριο ακολουθίας
Ελπίζω να μην έχω λάθος. Από το Λήμμα Cesaro έχουμε ότι αρκεί να βρούμε το όριο
Οι πρώτοι δύο όροι είναι φραγμένοι, αφού ο πρώτος συγκίνει στο και ο δεύτερος στο 1 (από Stirling), και η τρίτη είναι μηδενική άρα πάει στο 0
Οι πρώτοι δύο όροι είναι φραγμένοι, αφού ο πρώτος συγκίνει στο και ο δεύτερος στο 1 (από Stirling), και η τρίτη είναι μηδενική άρα πάει στο 0
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Όριο ακολουθίας
Η σειρά της παρένθεσης είναι η είσαι σίγουρος ότι κάνει για ;Εαν σπασω το οριο στα δυο μελη η παρανθεση δινει e^n αρα e^(-n)*e^(n)=1.
What's wrong with a Greek in Hamburg?
Re: Όριο ακολουθίας
Τώρα είδα τις απαντήσεις σας...το όριο δεν είναι ούτε 1 ούτε 0...
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας
Απιστευτο επεσε ακριβως στην μεση των απαντησεων.Τι συμμετρια θεε μου..
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
Re: Όριο ακολουθίας
Tην πάτησα πανυγηρικά !! Αλλά μόλις είδα ότι και ο Αλέξανδρος είχε κανει το ίδιο λάθος.... Εντάξει μπορώ να πω ότι αισθάνομαι τις μισές τύψεις τώρα
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Τυχαίο; Δε νομίζω....!"
Αναστάση για μια ακόμη φορά έγραψες !!Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:[1 νέος 18 χρονών θα πάρει σύνταξη στα 88! Όλα μαζί 11888. Τυχαίο; Δε νομίζω....!" ]
Re: Όριο ακολουθίας
Δε γνώριζα ότι είχε ξαναπροταθεί...ας είναι...νομίζω ότι θα σας αποζημιώσω με την παρακάτω λύση (όχι δική μου)...Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:εδώ
Θεωρούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές () καθεμια από τις οποίες έχει την κατανομή Poisson με παράμετρο 1.
Τότε η έχει την καταnομή Poisson με παράμετρο .
Επομένως,
.
Για μεγάλο , από το central limit theorem, η κατανομή της προσεγγίζει την κανονική κατανομή με μέση τιμή και διακύμανση .
Συνεπώς, θα είναι
.
Το συμπέρασμα έπεται.
Σχόλια: (1) Το πρόβλημα τέθηκε στο The Mathematical Gazette to 1983. Πολλοί λύτες έστειλαν μια λύση παρόμοια με την παραπάνω! 'Αλλοι προτίμησαν μια πιο αναλυτική προσέγγιση.
(2) Μιά άλλη προσέγγιση συνδυάζει το Θεώρημα προσέγγισης του Taylor, το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης και τον τύπο του Stirling.
(3) Ένας τρόπος υπολογισμού του παραπάνω ορίου από τον Ramanujan πάει πίσω ώς το 1911.
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιουν 05, 2010 5:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας
Σιλουανέ μήπως αντιγράφεις; Μάλλον και εγώ αντιγράφω Με πρόλαβε ο Αχιλλέας.smar έγραψε:Tην πάτησα πανυγηρικά !! Αλλά μόλις είδα ότι και ο Αλέξανδρος είχε κανει το ίδιο λάθος.... Εντάξει μπορώ να πω ότι αισθάνομαι τις μισές τύψεις τώρα
Έστω ανεξάρτητες κατανομές Poisson με παράμετρο 1.
Άρα κάθε έχει μέση τιμή 1 και τυπική απόκλιση 1. Είναι επίσης γνωστό ότι η είναι κατανομή Poisson με παράμετρο .
Από το κεντρικό οριακό θεώρημα έχουμε
Άρα
όπου είναι κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1.
Αλλά
Άρα
Re: Όριο ακολουθίας
Δεν θα το ξανακάνω κύριε... Μη με μηδενίσετε...Demetres έγραψε: Σιλουανέ μήπως αντιγράφεις;
Η λύση με τις πιαθανότητες είναι ΕΠΙΚΗ !!
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας
Ρε παιδιά, το ξεφτυλίσατε το θέμα με τις πιθανότητες! Το πατήσατε καταγής!!! Αχιλλέα οι διαφορετικές λύσεις που λες είχαν σταλεί στο περιοδικό; Πώς μπορεί κανείς να έχει πρόσβαση σε αυτές;
Φοβερή ατάκα ε; Δεν είναι δικής μου έμπνευσης όμως. Κάπου την πέτυχα και έσκασα στα γέλια!!!math_finder έγραψε:Αναστάση για μια ακόμη φορά έγραψες !!Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:[1 νέος 18 χρονών θα πάρει σύνταξη στα 88! Όλα μαζί 11888. Τυχαίο; Δε νομίζω....!" ]
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Re: Όριο ακολουθίας
Στο νέο βιβλίοΚοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ρε παιδιά, το ξεφτυλίσατε το θέμα με τις πιθανότητες! Το πατήσατε καταγής!!! Αχιλλέα οι διαφορετικές λύσεις που λες είχαν σταλεί στο περιοδικό; Πώς μπορεί κανείς να έχει πρόσβαση σε αυτές;
25 Years of Mathematical Gazette Problem Corner
by The Mathematical Association
που το συνιστώ ανεπιφύλακτα. Έχει όλα τα προβλήματα με τις λύσεις τους στο περιοδικό.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας
Μια ακόμα λύση για την παραπάνω άσκηση, η οποία χρησιμοποιεί την τεχνική που παρουσιάζεται εδώ.
Ας θέσουμε και .
Αναζητούμε το .
Από τον τύπο του Taylor με την ολοκληρωτική μορφή για το υπόλοιπο, έχουμε
, άρα
.
Όμως
.
Τώρα η ικανοποιεί τις υποθέσεις της πρότασης 9 σελίδα 45 εδώ, άρα
.
Έπεται ότι , άρα και .
Ας θέσουμε και .
Αναζητούμε το .
Από τον τύπο του Taylor με την ολοκληρωτική μορφή για το υπόλοιπο, έχουμε
, άρα
.
Όμως
.
Τώρα η ικανοποιεί τις υποθέσεις της πρότασης 9 σελίδα 45 εδώ, άρα
.
Έπεται ότι , άρα και .
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες