Εύρεση συνάρτησης

#1

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το IR ικανοποιεί τη σχέση $f(2x+f(y))=x+y +f(f(x)) , \forall x ,y \in \mathbb R$ .

Να αποδειχθεί ότι η f είναι 1-1 και να βρεθούν όλες αυτές οι συναρτήσεις με τη δοσμένη ιδιότητα.

Μπάμπης

*** Έγινε διόρθωση σε typo

AlexandrosG · #2

Καλημέρα.

Μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό λάθος γιατί για x=0

παίρνουμε

άρα δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις?

#3

AlexandrosG έγραψε:Καλημέρα.

Μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό λάθος γιατί για παίρνουμε άρα δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις?

Χίλια συγνώμην. Δείτε το τυπογραφικό στο β΄μέλος. Είναι f(f(x))

και όχι

.

Σας ευχαριστώ πολύ - Μπάμπης

#4

Θέτουμε στην αρχική χ=0 οπότε προκύπτει f(f(y))=y+f(f(0))

(1), από όπου φαίνεται ότι η συνάρτηση είναι 1-1.

Η αρχική (λόγω της (1)) γίνεται τότε f(2x+f(y))=2x+y+f(f(0))

. Θέτουμε τώρα $x=-\frac{f(y)}{2}$ και προκύπτει f(0)=y-f(y)+f(f(0))

.

Άρα

και από έδω έχουμε f(0)=f(f(0))-f(0)

. Άρα

Αυτή ικανοποιεί προφανώς την αρχική.

EDIT: Δίορθωσα ένα λάθος. Είχα πει ότι από την f(2x+f(y))=2x+y+f(f(0))

για $x=-\frac{f(y)}{2}$ προκύπτει f(y)=y

#5

Για

παίρνουμε: f(f(y))=y+f(f(0))

, για κάθε $y\in\mathbb{R} \ \ (1)$ απ' όπου εύκολα αποδεικνύουμε ότι η

είναι

.

Για

παίρνουμε: $f(2x+f(0))=x+f(f(x))\stackrel{(1)}{=}2x+f(f(0))$ , για κάθε $x\in\mathbb{R} \ \ (2)$ .

Θέτοντας στη (2)

όπου

το $\displaystyle\frac{x-f(0)}{2}$ παίρνουμε:

f(x)=x-f(0)+f(f(0))

, για κάθε $x\in\mathbb{R} \ \ (3)$ .

Χρησιμοποιώντας την τελευταία, η δοσμένη σχέση της εκφώνησης δίνει f(y)=y+f(0)

, για κάθε $y\in\mathbb{R}$ συνάρτηση που επαληθεύει την αρχική. Συνεπώς οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι όλες της μορφής f(x)=x+a

, όπου το

είναι δοσμένο.

Αλέξανδρος

#6

Ενδιαφέρον είναι και το συγγενές- στην όψη-... Try it!

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $f(2x+f(y))=x+y +f(f(x)) , \forall x ,y \in \mathbb R^+$ .

#7

socrates έγραψε:Ενδιαφέρον είναι και το συγγενές- στην όψη-... Try it!

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $f(2x+f(y))=x+y +f(f(x)) , \forall x ,y \in \mathbb R^+$ .

Δείτε:
http://artofproblemsolving.com/community/c6h1115560

Σύντομα θα βάλω και τη λύση μου!

dennys · #8

Καλημέρα σε όλους

Μπάμπη καλοτάξιδο το νέο σου βιβλίο. Δεν το πήρα ακόμη ,γιατί είμαι σε διακοπές.
Θα ήθελα να πώ οτι τίς ασκήσεις με συναρτησιακές τις τοποθετείτε στην Γ λυκείου ,σε θέματα με απαιτήσεις κ.λ.π.
αλλά νομίζω ότι είναι για Ολυμπιάδες μαθηματικών ή κάτι άλλο(art of problem...)
Ασκήσεις που οι λύτες αρχίζουν ...όπου χ το f(x),f(f(o))...

δηλ .τι σχέση έχουν με την Γ΄λυκείου.Ωραίες ασκήσεις μεν
αλλά η ταπεινή μου γνώμη αυτή είναι και φυσικά καμμιά μομφή για τον αγαπητό Μπάμπη και τον Θανάση (socrates),που τις αγαπά ιδιαίτερα .
Θα ήθελα την γνώμη σας.

Διονύσης Βουτσάς (DENNYS)

#9

Καλημέρα σε όλους.!

Αφού ευχηθώ κι από εδώ να είναι καλοτάξιδο το νέο βιβλίο του Μπάμπη

να πω ότι φέτος (που δεν έχουμε Μιγαδικούς και συνάρτηση

)

μάλλον πρέπει να ασχοληθούμε περισσότερο με συναρτησιακές ... απλές και πιο σύνθετες...

δε θα αργήσει η μέρα που θα τις δούμε στις εξετάσεις,

εξάλλου κατά καιρούς έχουμε δει πολλά και διάφορα,γιατί όχι αυτές ... που είναι και ωραίες!!!

#10

Καλησπέρα.
Η γνώμη μου είναι πως πρωτίστως οι συναρτησιακές εξισώσεις είναι
ένα εξαιρετικά ενδιαφέρον κομμάτι των μαθηματικών, στο οποίο ψάχνεις
μέσα απ' τη δομή της, μια συνάρτηση.Υπάρχουν όλων των ειδών οι ασκήσεις.
Εύκολες, μέτριες, εξαιρετικά δύσκολες ή τεχνικές.
Δευτερευόντως οι πανελλήνιες είναι γεμάτες από συναρτησιακές, οι οποίες
εμπεριέχουν παραγώγους και άλλες συναρτήσεις.Κι αυτές κατά βάθος συναρτησιακές είναι.

Atemlos · #11

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα.

Δευτερευόντως οι πανελλήνιες είναι γεμάτες από συναρτησιακές, οι οποίες
εμπεριέχουν παραγώγους και άλλες συναρτήσεις.Κι αυτές κατά βάθος συναρτησιακές είναι.

Πολύ σωστά...

M.S.Vovos · #12

Θα ήθελα, να ευχηθώ και εγώ στον αγαπητό

και εξαιρετικό μαθηματικό κ. Μπάμπη Στεργίου, καλοτάξιδο

το βιβλίο, που είναι ΘΗΣΑΥΡΟΣ κατά τη γνώμη μου!!!

Όσον αφορά τις συναρτησιακές, η ταπεινή μου γνώμη είναι ίδια με τη κ. Φωτεινή και το κ. Χρήστο, με την προϋπόθεση, βέβαια, ότι δε θα υπάρξουν θέματα στις πανελλήνιες, που θα είναι εκτρώματα.

Με εκτίμηση,
Μάριος

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση