Σταθερή συνάρτηση

mathxl · #1

Μίαδύσκολη κατά την γνώμη μου ( μου είχε ξεφύγει ένα τετράγωνο στο προηγούμενο ποστ....)

#2

Ενδιαφέρουσα άσκηση. Με αυτόν τον τρόπο δειχνει κανεις και ότι $\displystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ . βλέπε Ρασσιά μαθηματική ανάλυση Ι τεύχος β σελ 160 και Tom apostol mathematical Analysis σελ 178.
Θα αναζητήσω μια λυση αργότερα γιατί δυστυχώς βιάζομαι..
καλημέρα σε όλη την παρέα!!!

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Με αυτόν τον τρόπο δειχνει κανεις και ότι $\displystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ . βλέπε Ρασσιά μαθηματική ανάλυση Ι τεύχος β σελ 160 και Tom apostol mathematical Analysis σελ 178.

καλησπέρα
αν θέλεις γίνε λίγο πιο συγκεκριμένος να καταλάβουμε...
σε ευχαριστώ

#4

joulia1961 έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Με αυτόν τον τρόπο δειχνει κανεις και ότι $\displystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ . βλέπε Ρασσιά μαθηματική ανάλυση Ι τεύχος β σελ 160 και Tom apostol mathematical Analysis σελ 178.
καλησπέρα
αν θέλεις γίνε λίγο πιο συγκεκριμένος να καταλάβουμε...
σε ευχαριστώ

Δίνω μία υπόδειξη, που υποθέτω ότι αυτήν έχει κατά νου ο Βασίλης (mathxl).

α) Παραγωγίζοντας θα βρούμε $f^{\prime} = 0$ . Προσοχή όμως, η παραγώγιση του δεύτερου ολοκληρώματος έχει δουλειά. Μπορούμε να κάνουμε ένα από τα εξής δύο:
(ι) (εκτός ύλης) παραγωγίζουμε μεταφέροντας, από το θεώρημα Lagrange, την παράγωγο μέσα στο ολοκλήρωμα ως μερική παράγωγο. (Το θεώρημα Lagrange μας επιτρέπει την αλλαγή στη σειρά παραγώγου και ολοκλήρωσης). Σε αυτό που θα βρούμε, κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής xt = y, και τα υπόλοιπα είναι απλά.
(ii) (εντός ύλης αλλά με περισσότερες πράξεις, που ομολογώ ότι δεν έκανα). Κάνουμε αλλαγή μεταβλητής ώστε να μην βλέπουμε το x μέσα στο ολοκλήρωμα, αλλά μόνο στα άκρα ολοκλήρωσης. Η παραγώγιση τώρα γίνεται από το θεμελειώδες θεώρημα.

β) αφού λοιπόν η παράσταση είναι σταθερή, ισούται με την τιμή της στο x = 0, που είναι π/4 (όσο το ολοκλήρωμα $\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+t^2}}dt$ )

γ) παίρνουμε όριο του x τείνοντος στο άπειρο. Το δεύτερο ολοκλήρωμα έχει όριο μηδέν. Το βλέπουμε αφού βγάλουμε το $e^{-x^2}$ έξω από το ολοκλήρωμα, οπότε γίνεται "φραγμένη επί μηδενική".

Στην διατριβή του στο Πανεπιστήμιο Κρήτης για το ΜΔΕ, ο Αντρέας Παντερής, Καθηγητής στο Β Γυμνάσιο Ηρακλείου, έχει καμιά δεκαριά τρόπους για εύρεση του
$\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx$ .

Την παραπάνω δεν την έχει, και μου είναι νέα. Ευχαριστώ θερμά τον Βασίλη που μας της έφερε εδώ, και τον Αναστάσιο Κοτρώνη που υπέδειξε την σύνδεση της άσκησης με το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#5

Θα δώσω μια λὐση που βασίζεται σε ενα μη "λυκειακό" θεώρημα της παραγώγισης κάτω από το συμβολο του ολοκληρώματος
$\displaystyle(\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt})^{\prime}=\displaystyle\int_{0}^{1}-2xe^{-x^2(1+t^2)}dt=-2e^{-x^2}\displaystyle(\int_{0}^{1}e^{-x^2t^2}xdt)= -2e^{-x^2}\displaystyle(\int_{0}^{x}e^{-u^2}du)=-2e^{-x^2}\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt$
αλλά
$(\displaystyle(\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt)^2)^{\prime} =2e^{-x^2}\displaystyle(\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt)$
οπότε $f^{\prime}(x)=0 , \forall x\in R$ δηλαδή $f(x)=c=f(0)=\displaystyle \int_{0}^{1}{\frac{1}{1+t^2}dt}=\frac{\pi}{4}$
Μόλις είδα οτι με προλαβε ο Μιχάλης αλλά δεν πειράζει συνεχίζω...
Για Το όριο έχουμε
$\frac{e^{-2x^2}}{2}=\displaystyle(\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x^2(1+1)}}{1+1}dt})\le\displaystyle(\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt})\le\displaystyle(\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x^2}}{1}dt})=e^{-x^2}$
παίρνοντας ὀρια όταν $x\to +\infty$ προκύπτει ότι το πρώτο ολοκλήρωμα τείνει στο 0 και άρα εύκολα το ζητούμενο
Μιχάλη νομίζω ότι το x που λες στον τρόπο ιι) δεν βγαίνει εξω από το ολοκλήρωμα γιατί καταλήγει στο $\int_{0}^{x}{\frac{e^{-u^2}}{x^2+u^2}du}??$

#6

Φωτεινή, συγνώμη γιά την απότομη αναφορά της σύνδεσης του υπολογισμού του ολοκληρώματος $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx$ με την άσκηση που δημοσίευσε ο Βασίλης, αλλά εκείνη την ώρα πραγματικά βιαζόμουν και είπα να δώσω την αναφορά στα βιβλία μήπως κάποιος εν τω μεταξύ έδινε κάποιες παραπάνω πληροφορίες. Με πρόλαβε ο Μιχάλης ο Λάμπρου

. Αυτό που δεν έχω καταφέρει μέχρι στιγμής τουλάχιστον να κάνω είναι τον εντός ύλης λυκείου υπολογισμό της παραγώγου του $\displystyle\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^{2}(t^{2}+1)}}{t^{2}+1}dt$ . Δεν έχω καταφέρει να εξαφανίσω το x από το ολοκλήρωμα.....

mathxl · #7

Καλησπέρα σας
Ύστερα από ένα απρόοπτο δυσάρεστο συμβάν δίνω κάποιες πληροφορίες για την άσκηση
Η άσκηση βρίσκεται στο βοήθημα με τίτλο "ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ" του Κ.ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΥ εκδόσεις ΒΙΒΛΙΟΕΚΔΟΤΙΚΗ - ΑΝΑΣΤΑΣΑΚΗΣ 1991
Είναι μία άσκηση την οποία έχω λύσει ακριβώς όπως ο Ροδόλφος και δεν μπορώ να την λύσω με σχολικό τρόπο(έτσι απαντώ και στην ερώτηση σου Αναστάση)!
Ωστόσο το βοήθημα είναι σχολικό (η άσκηση βρίσκεται στην σελίδα 144)

Προσπαθώ να βρω μία σχολική λύση...την δουλεύω ακόμη...

mathxl · #8

Εάν καταφέρουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{h\left( x \right) = {\left( {\int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} } \right)^2} + \frac{\pi }{4}{e^{ - {x^2}}} - \frac{\pi }{4},x \in R}$ έχει μέγιστο το 0 τότε έχω και σχολική λύση (αν θέλει κάποιος συνάδελφος ασ δει το ποιο είναι το μέγιστο έστω και με το μαθημάτικα ή μαπλ)

Διαολεμένη σύμπτωση , δείτε εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=27514
ΠΡΟΣΘΗΚΗ:Άκυρη η ιδέα μου, δείτε εδώ τον λόγο http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1435756#1435756

#9

ΚΑΛΟ!!!!!! λες να περιμενουμε λιγο ακομα μηπως δωσουν και απαντηση συμφωνα με την υλη που διδασκεται στην Γ λυκειου στην ελλαδα; καλο...

#10

Είναι
$g(x)=\displaystyle \frac {\displaystyle(\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt})-\displaystyle(\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x_0^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt})}{x-x_0}=\displaystyle(\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x^2(1+t^2)}-e^{-x_0^2(1+t^2)}}{(1+t^2)(x-x_0)}dt})=\displaystyle-(x+x_0)\int_{0}^{1}e^k dt$
από το ΘΜΤ για την e^x ,-x^2(1+t^2)<k<-x_0^2(1+t^2)<

Αρα
$\displaystyle-(x+x_0)\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^2)}dt<g(x)<\displaystyle-(x+x_0)\int_{0}^{1}e^{-x_0^2(1+t^2)}dt$
Θα δείξουμε ὀτι όταν $x\to x_0$ τότε $\displaystyle-(x+x_0)\int_{0}^{1}e^{-x_0^2(1+t^2)}dt \to \displaystyle-2x_0\int_{0}^{1}e^{-x_0^2(1+t^2)}dt$ που είναι προφανές και επιπλέον $\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^2)}dt-\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x_0^2(1+t^2)}dt \to 0$ [*]
που σημαίνει ότι $g(x)\to\displaystyle-2x_0\int_{0}^{1}e^{-x_0^2(1+t^2)}dt$ και ολοκληρώνει το ζητούμενο
Πράγματι η [*] γραφεται
$\displaystyle\int_{0}^{1}(e^{-x_0^2(1+t^2)}-e^{-x_0^2(1+t^2)})dt=(-x^2+x_0^2)\displaystyle\int_{0}^{1}e^k (1+t^2)dt\to 0$ ως μηδενική επἰ φραγμενη
Ετσι χρησιμοποιήσαμε ΜΟΝΟ σχολικές γνώσεις όχι για να βγάλουμε το χ απο το ολοκλήρωμα αλλά να υπολογίσουμε άμεσα την παράγωγο του ολοκληρώματος
Καληνύχτα
Μάλλον πρέπει να μεταφερθεί στο ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ?

#11

Πολύ όμορφη η λύση σου! Το μόνο που θα πρέπει να προστεθεί σαν υπόθεση, αν ζητηθεί από ένα μαθητή να δείξει και ότι $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ , είναι ότι
$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt$ και ότι $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\in\mathbb{R}$ .

mathxl · #12

καλημέρα
Πράγματι ωραία η λύση του Ροδόλφου ( πρέπει να παίρνει μαθηματικά αναβολικά

)
Προσωπικά μου έμαθε κάτι περί εγκλωβισμού ( το χ διάφορο του χ0 μετά γίνεται απόλυτο χ μεγαλύτερο του απολύτου χ0 και υψώνουμε στο τετράγωνο..δεν το είχα ξαναδεί και μου άρεσε)

Όπως είχα πει σε προηγούμενο ποστ, η λύση που εέχω δώσει είναι αυτή του Ροδόλφου (η εκτόσ σχολική ύλης) αλλά την έαλα εδώ προφανώς γιατί δεν είμαι ο καλύτερος μαθηματικός οπότε΄είπα ότι κάτι μου διαφεύγει και θα το βρει άλλος. Μπορεί να υπήρχε κάποια λύση που δεν έβλεπα αρκετά απλή. Αυτός είναι και ο λόγος που την έβαλα σε αυτό τον φάκελο. Αν η πιο απλή λύση είναι αυτή του Ροδόλφου καλό είναι να μετακινηθεί στο φάκελο αυξημένων απαιτήσεων

#13

Ένα μαζεματάκι εδώ.

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση