Εξίσωση δύο μεταβλητών

Dreamkiller · #1

Δεν είμαι σίγουρος ότι ανήκει εδώ αλλά δεν ήξερα που αλλού να το βάλω.
Να λυθεί η εξίσωση 16x^2+21y^2-12xy-4x-6y+1=0

στους πραγματικούς.

Από το βιβλίο Mathematical Delights του Ross Honsberger. Δεν είναι και πολύ πρωτότυπο θέμα αλλά πιστεύω είναι χρήσιμο να γνωρίζει κάποιος πώς λύνονται τέτοιου είδους προβλήματα.

EDIT: Είναι εντάξει τώρα.

papel · #2

Καπου λειπει ενα y.

Ιστοσελίδα · #3

Πολλαπλασιάζω και τα 2 μέλη της εξίσωσης με 4 και έχω:
$64{x^2} + 84{y^2} - 48xy - 16x - 24y + 4 = 0$ (1)
Ισχύει ότι:
${\left( {8x - 3y - 1} \right)^2} = 64{x^2} + 9{y^2} + 1 - 48xy + 6y - 16x$
Η εξίσωση (1) γίνεται:
$\left( {64{x^2} + 9{y^2} + 1 - 48xy + 6y - 16x} \right) + \left( {75{y^2} - 30y + 3} \right) = 0$ ή
${\left( {8x - 3y - 1} \right)^2} + 3{\left( {5y - 1} \right)^2} = 0$
Οπότε: $x = y = \displaystyle\frac{1}{5}$

kwstas12345 · #4

Mία άλλη λύση, πιο κλασσική που πάντα πιάνει :Θεωρώ την εξίσωση σαν τριώνυμο ώς προς y άρα: $16x^{2}-4x\left(3y+1 \right)+21y^{2}-6y+1=0,\Delta =16\left(3y+1 \right)^{2}-64\left(21y^{2}-6y+1 \right)=-1200y^{2}+480y-48=-25\left(25y^{2} -10y+1\right)=-48\left(5y-1 \right)^{2}\leq 0,\Leftrightarrow y=\frac{1}{5}$
Για y=1/5 η δοσμένη θα γίνει: $16x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{16}{25}=0\Leftrightarrow \left(4x-\frac{4}{5} \right)^{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}.$

Dreamkiller · #5

Πολύ σωστά. Την έβαλα, όμως, για να επισημάνω μια (χρονοβορά μεν, αποτελεσματική δε) μέθοδο που μπορεί να χρησιμοποιήσει κάπoιος γι' αυτά.
Επειδή σχεδόν πάντα τέτοιες παραστάσεις είναι άθροισμα τετραγώνων και στη συγκεκριμένη εμφανίζονται μονώνυμα των

,

και

υποθέτουμε ότι υπάρχουν πραγματικοί a,b,c,d,e,f

τέτοιοι ώστε:
16x^2+21y^2-12xy-4x-6y+1=(ax-by)^2+(cx-d)^2+(eg-f)^2

.
Αναπτύσσοντας το δεξί μέλος και εξισώνοντας τους συντελεστές για να είναι ίσα τα πολυώνυμα, προκύπτει ένα σύστημα 6x6

, η λύση του οποίου είναι ρουτίνα.
Στο τέλος βρίσκουμε ότι $\displaystyle (\sqrt6x-\sqrt6y)^2 +(\sqrt10x-\frac{\sqrt10}{5})^2+(\sqrt15y-\frac{\sqrt15}{5})^2=0$ .

kwstas12345 · #6

Dreamkiller έγραψε:Πολύ σωστά. Την έβαλα, όμως, για να επισημάνω μια (χρονοβορά μεν, αποτελεσματική δε) μέθοδο που μπορεί να χρησιμοποιήσει κάπoιος γι' αυτά.
Επειδή σχεδόν πάντα τέτοιες παραστάσεις είναι άθροισμα τετραγώνων και στη συγκεκριμένη εμφανίζονται μονώνυμα των , και υποθέτουμε ότι υπάρχουν πραγματικοί τέτοιοι ώστε:
.
Αναπτύσσοντας το δεξί μέλος και εξισώνοντας τους συντελεστές για να είναι ίσα τα πολυώνυμα, προκύπτει ένα σύστημα , η λύση του οποίου είναι ρουτίνα.
Στο τέλος βρίσκουμε ότι $\displaystyle (\sqrt6x-\sqrt6y)^2 +(\sqrt10x-\frac{\sqrt10}{5})^2+(\sqrt15y-\frac{\sqrt15}{5})^2=0$ .

Εξίσωση δύο μεταβλητών

Εξίσωση δύο μεταβλητών

Re: Εξίσωση δύο μεταβλητών

Re: Εξίσωση δύο μεταβλητών

Re: Εξίσωση δύο μεταβλητών

Re: Εξίσωση δύο μεταβλητών

Re: Εξίσωση δύο μεταβλητών

Μέλη σε σύνδεση