απορίες

kika · #1

καλησπέρα
έχω κάποιες μαζεμένες απορίες για όποιον έχει το χρόνο να ασχοληθεί...

1) στην απόδειξη για το θεώρημα διαμέσων σε τρίγωνο το σχολικό βιβλίο αναφέρει ότι για ΑΓ>ΑΒ τότε το ίχνος Δ του ύψους πέφτει ανάμεσα στο Β και Μ . υπάρχει κάποια μαθηματική εξήγηση γι αυτό ή η δικαιολόγηγη είναι διαισθητική??...

2)δίνω την εξής άσκηση:
σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΜ διάμεσος. Φέρνω ΜΔ κάθετο στην ΑΒ. Να δείξετε ότι $3AB^{2}+A\Gamma ^{2}-B\Gamma ^{2}=4AB\cdot A\Delta$
δε χρειάζεται να ξέρουμε ποια πλευρά είναι μεγαλύτερη για να ξέρουμε αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο ή αμβλειγώνιο??

3)μια βοήθεια αν μπρορείτε για την άσκηση γιατί δε μπορώ να την βγάλω
σε κύκλο (Ο,R) είναι Ρ μέσο του τόξου ΑΒ.Τυχαία χορδή από το Ρ τέμνει την ΑΒ στο Μ και τον κύκλο στο Ν.Αν Κ σημείο τομής των ΑΒ, ΟΡ , να δείξετε ότι $PM\cdot PN=2R^{2}-2R\cdot OK$

ευχαριστώ πολύ

#2

Καλησπέρα.

Για το 1) :

Το βιβλίο μιλάει για οξυγώνιο(Β,Γ οξείες) τρίγωνο και αποφεύγει σιωπηλά το αμβλυγώνιο(ή το ορθογώνιο) που θα μπορούσε κάλλιστα να είναι.

Λεπτομέρειες!

Για τη 2) Νομίζω πως είναι οκ αφού είναι καθαρά άσκηση μετρικών σχέσεων και δεν παρουσιάζεται κανένα πρόβλημα στην πορεία επίλυσης. Η προτασή μου είναι:

$\displaystyle{ 3AB^2 + A\Gamma ^2 - B\Gamma ^2 = 2AB^2 + AB^2 + A\Gamma ^2 - B\Gamma ^2 \mathop = \limits^{\Theta \delta \iota a\mu } 2AB^2 + 2MA^2 + \frac{{B\Gamma ^2 }}{2} - B\Gamma ^2 \mathop = \limits^{B\Gamma = 2B{\rm M}} 2(AB^2 + MA^2 - BM^2 ) }$

Απ'όπου εφαρμόζοντας πυθαγόρεια στα δύο ορθογώνια τριγωνάκια, έχεις:

$\displaystyle{ 2(AB^2 + M\Delta ^2 + A\Delta ^2 - B\Delta ^2 - \Delta M^2 ) = 2(AB^2 + A\Delta ^2 - B\Delta ^2 ) = 2(AB^2 + A\Delta ^2 - (AB - A\Delta )^2 ) = ...4AB \cdot A\Delta }$

Όλα αυτά για την περίπτωση που < Β οξεία. Αν ήταν αμβλεία τότε ΒΔ=ΑΔ-ΑΒ κ.ο.κ ....

Αιντε να δώσω και μια λυσούλα για το 3.
Ονόμασε Ξ το μέσο της χορδής ΡΝ. Τότε το ΟΞΜΚ είναι εγγράψιμο (Ξ+Κ=180) αρα:

$\displaystyle{ PM \cdot P\Xi = PK \cdot OP \Rightarrow PM \cdot \frac{{PN}}{2} = (OP - OK) \cdot OP \Rightarrow PM \cdot PN = 2(R - OK)R = 2R^2 - 2OK }$

Εργάστηκα σε κομμάτια σήμερα!! Δε βαριέσαι.

hlkampel · #3

Μια απάντηση στην 3 στο συννημένο

sybe · #4

Για το 1)
αυτό που σκέφτομαι είναι ότι όταν φέρουμε την διάμεσο ΑΜ. Τότε σχηματίζονται δύο γωνίες. Η ΑΜΓ (Μ1) και η ΑΜΒ(Μ2).
Αφού είναι παραπληρωματικές ή και οι δύο θα είναι ορθές (αν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές), άρα το Δ με το Μ θα ταυτίζεται. Ή η μία θα είναι αμβλεία και η άλλη οξεία.
Από την εφαρμογή 3 του βιβλίου σελ 56 "αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιοχέμενες γωνίες άνισες, τότε και οι τρίτες πλευρές θα είναι όμοια άνισες και αντίστροφα", έχουμε στα τρίγωνα ΑΜΓ και ΑΜΒ ότι ΑΜ κοινή και ΓΜ = ΜΒ. Άρα αφού ΑΓ > ΑΒ προκύπτει ότι Μ1>Μ2. Άρα Μ1 αμβλεία και Μ2 οξεία. Αφού Μ1 αμβλεία τότε ΑΜΓ αμβλυγώνιο άρα ύψος εκτός ΜΓ, δηλαδή Δ μεταξύ Β και Μ ( αφού ισχύει συγχρόνως ότι το ΑΜΒ οξυγώνιο)
Ελπίζω να καταλαβαίνεις έτσι όπως τα έγραψα

Δεν ξέρω αν χρειάζεται και έξτρα αιτιολόγηση.

sybe · #5

αυτά που έγραψα παραπάνω ισχύουν όταν ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.

kika · #6

σας ευχαριστώ όλους πάρα πολύ!

και sybe μια χαρά τα αιτιολόγησες,σαφέστατη

απορίες

απορίες

Re: απορίες

Re: απορίες

Re: απορίες

Re: απορίες

Re: απορίες

Μέλη σε σύνδεση