ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 214 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩΝΟΥ

#1

Αγαπητοί φίλοι,
είναι γνωστό ότι κάθε σχήμα, στου οποίου τα διάφορα στοιχεία εμφανίζεται με μεγάλη συχνότητα ο «χρυσός» αριθμός φ, ονομάζουμε «χρυσό».
Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου, η μεγάλη κάθετη πλευρά είναι μέση ανάλογος των δύο άλλων πλευρών του, χαρακτηρίζεται σα «χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο».
Στα στοιχεία του τριγώνου αυτού τον αριθμό φ, συναντάμε σε μεγάλο αριθμό, όπως θα διαπιστώσουμε.
Το «χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο» συναντάμε στην μεγάλη πυραμίδα του Χέοπος (Γκίζα).
Για το «χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο», αναζητήσαμε κριτήρια που μας πείθουν ότι ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι «χρυσό». Επινοήσαμε μέχρι τώρα 62 τέτοια κριτήρια, ενώ αναζητούμε το 63 (Πιστεύουμε ότι τέτοια κριτήρια, υπάρχουν άνω των 100, και γι’ αυτό στόχος μας είναι το 100 κριτήριο).
Από τα παραπάνω 62 κριτήρια τα 18 έχουν καταχωρηθεί στους 6 και 7 τόμους του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» με το οποίο και έχουν δημοσιευθεί, ενώ τα υπόλοιπα 44 κριτήρια έχουν καταχωρηθεί στους τόμους 8, 9, 10 του παραπάνω βιβλίου μου.{Στοιχεία από τα παραπάνω 18 κριτήρια έχουν δημοσιευθεί και με σχετική εργασία μου στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο» [Τεύχος 9 / Δεκ 2000, σελίδα 20]}.
Αν η προσπάθειά μας αυτή ευοδωθεί, θα εκτυπωθεί σε βιβλίο με τα ονόματα φυσικά των φίλων που θα συνεισφέρουν και θα πάμε για το βιβλίο Γκίνες.
Για την ενημέρωση των φίλων μας και φίλων της Γεωμετρίας, και για την υποβοήθηση της προσπάθειές τους, θα δώσουμε στο εξής μερικά από τα παραπάνω 62 κριτήρια, εκτός φυσικά εκείνων που θα επινοήσουμε μελλοντικά.
Πάμε λοιπόν, προς το παρόν, για την εύρεση του 63 κριτηρίου.
Καλή επιτυχία σε όλους.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#2

Αγαπητοί φίλοι,
επειδή θα μας χρειασθεί στην παραπέρα προσπάθειά μας και προκειμένου να εκπληρώσω υπόσχεσή μου, προτείνω για απόδειξη το παρακάτω πρώτο κριτήριο «Χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».

Κριτήριο 1.
6ι((40). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Αν γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ και ΑΒ=ΓΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#3

Αγαπητοί φίλοι,
προκειμένου να εκπληρώσω υπόσχεσή μου, αλλά και επειδή θα μας χρειασθούν να τα χρησιμοποιήσουμε στην εν συνεχεία προσπάθειά μας, προτείνω για απόδειξη την παρακάτω δέσμη κριτηρίων, ενώ θα ακολουθήσουν και άλλες δέσμες κριτηρίων «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Οι αποδείξεις των κριτηρίων αυτών είναι εύκολες, ενώ περιέχονται στους 6 και 7 τόμους του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας». Αν μου δοθεί ευκαιρία θα δώσω και εγώ τις αποδείξεις μερικών από τα κριτήρια αυτά, εφόσον φυσικά δεν θα έχουν δοθεί στο μεταξύ από φίλους.
Προκειμένου να συνεχισθεί απρόσκοπτα το κυνήγι πρωτοεμφανιζόμενων σχετικών κριτηρίων μπορούν οι φίλοι να χρησιμοποιούν για να στηρίξουν τις αποδείξεις τους στις εκφωνήσεις των κριτηρίων που θα έχουν δοθεί, έστω και αν δεν έχουν δοθεί οι αποδείξεις τους:

Δέσμη Κριτηρίων 1.

Κριτήριο 2.
6ι((41). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ, Ε είναι οι προβολές των Α, Δ στις ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα και συμβαίνει η διχοτόμος της γωνίας Β να περνά από το Ε, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 3.
6ι((44). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ),η προβολή Δ του Α στη ΒΓ είναι χρυσή τομή της ΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 4.
6ι((53). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), είναι ΒΓ/ΑΒ=φ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 5.
7ι((41). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), το ύψος του ΑΔ, η διχοτόμος του ΒΕ και η διάμεσός του ΓΜ συντρέχουν, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 6.
7ι((41). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η διάμεσός του ΑΜ’, η διχοτόμος του ΒΕ και η συμμετροδιάμεσός του ΓΖ, συντρέχουν, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 7.
7ι((127). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η τομή Ε της διχοτόμου του ΒΕ με την ΑΓ, είναι χρυσή τομή της ΑΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 8.
7ι((127). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η τομή Ζ της διχοτόμου του ΒΕ με το ύψος του ΑΔ, είναι χρυσή τομή του ΑΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Ευχές.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#4

Κριτήριο 63.

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 38, τo 63 [Πρόταση 10ι(185)] πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί, το 64 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»..

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#5

Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα θα σας προτείνω για απόδειξη τις παρακάτω δύο βοηθητικές Προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατό να βοηθήσουν στην προσπάθειά μας.
Οι Προτάσεις αυτές με τις αποδείξεις τους, αναφέρονται στον τόμο 7 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στις παραγράφους 7ι(134) και 7ι(137) και στις οποίες μπορούμε να στηριζόμαστε για την απόδειξη των Κριτηρίων.
Αργότερα, όταν βρω χρόνο, θα δώσω τις αποδείξεις τους, αν και είναι εύκολες και εφόσον δεν δοθούν στο μεταξύ από κάποιο φίλο.

Βοηθητικές Προτάσεις.
Λήμμα 1.
7ι(134). Κάθε τρίγωνο, όμοιο με χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο, είναι επίσης χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο.
Λήμμα 2.
7ι(137). Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή), αν η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Ε, το ύψος ΑΔ στο Ζ και η διχοτόμος της γωνίας ΓΑΔ, τέμνει την ΒΓ στο Η, τότε το τετράπλευρο ΑΕΗΖ είναι ρόμβος, και αντίστροφα, αν σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόμος της γωνίας του Β τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Ε, το ύψος ΑΔ στο Ζ , ενώ η διχοτόμος της γωνίας ΓΑΔ, τέμνει την ΒΓ στο Η και το τετράπλευρο ΑΕΗΖ είναι παραλ/μο, τότε το τετράπλευρο ΑΕΗΖ είναι ρόμβος και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στη γωνία Α.

Με την ευκαιρία αυτή, θέλω να αναφέρω και τα εξής:
- Οι αποδείξεις των κριτηρίων 5 και 6, είναι δυνατό να γίνουν εύκολα με απλή εφαρμογή της Πρότασης 3 [Πρόταση 7ι(40), που έχω δώσει στο mathematica.gr στη διεύθυνση: viewtopic.php?f=50&t=4477&sid=e98dd58cb89f15e2c3e8b0be87d5e309. Την απόδειξή της έχω δώσει στην ίδια διεύθυνση με το συνημμένο μου 11 την 3-Ιαν. 2010.
- Για τα κριτήρια 1 έως 8, που έχω δώσει μέχρι τώρα, είναι δυνατό να χρησιμοποιούμε το σχήμα 37 που έχω δώσει εδώ, με το συνημμένο μου 38 την 13-Ιουν. 2010.
Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#6

Κριτήριο 64.
Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 39, τo 64 [Πρόταση 10ι(187)] πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί, το 65 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»..

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#7

Αγαπητέ Νίκο,

είμαι σχεδόν βέβαιος ότι η παρακάτω απλούστατη πρόταση θα έχει ήδη καταγραφεί, αλλά την καταθέτω, τιμώντας την Προσπάθεια σου!

Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου η μεγάλη κάθετη πλευρά αποτελεί μέσο και άκρο λόγο των δύο άλλων πλευρών του, χαρακτηρίζεται σα «χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο».

Έστω ΑΒΓ, $\displaystyle \widehatA = 90^\circ$ , με β > γ, ώστε
$\displaystyle \frac{\beta }{\alpha } = \frac{\gamma }{\beta }\;\; \Leftrightarrow \;\;\eta \mu {\rm B} = \sigma \phi {\rm B}\;\; \Leftrightarrow \;\eta \mu ^2 {\rm B} = \sigma \upsilon \nu {\rm B}\; \Leftrightarrow$
$\displaystyle \;1 - \sigma \upsilon \nu ^2 {\rm B} = \sigma \upsilon \nu {\rm B}\; \Leftrightarrow \;\sigma \upsilon \nu ^2 {\rm B} + \sigma \upsilon \nu {\rm B} - 1 = 0$

οπότε, αφού 0 < συνΒ < 1, είναι: $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm B} = 2\sigma \upsilon \nu 72^\circ \;\;\;\eta \;\;\;\;\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \phi - 1$

Οπότε: Χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο είναι το ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ισούται με φ - 1 (φ: αριθμός Φιμπονάτσι)

Γιώργος Ρίζος

#8

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
επειδή θα μας χρειασθεί στην παραπέρα προσπάθειά μας και προκειμένου να εκπληρώσω υπόσχεσή μου, προτείνω για απόδειξη το παρακάτω πρώτο κριτήριο «Χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».

Κριτήριο 1.
6ι((40). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Αν γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ και ΑΒ=ΓΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με Α = 1 ορθή και Δ προβολή του Α στη ΒΓ είναι: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 = {\rm B}\Gamma \cdot \Gamma \Delta$ (1).
Αν ΑΒ = ΓΔ τότε η (1) γίνεται: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 = {\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}$ , οπότε το ΑΒΓ είναι "χρυσό".

Αντίστροφα: Αν ΑΒΓ "χρυσό", τότε $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 = {\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}$ (2) και αφού ισχύει η (1), θα είναι ΑΒ = ΓΔ.

Και μια ακόμα προσπάθεια για ανακάλυψη νέων κριτηρίων

ΝΕΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Αν γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ, Μ το μέσο της διαμέσου ΒΓ. Δείξτε ότι όταν και μόνο όταν ΑΒ = ΑΜ + ΔΜ, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Απόδειξη:
Έστω ότι το ΑΒΓ της υπόθεσης είναι "χρυσό", οπότε: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 = {\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}$ (1)
Από 2ο Θ. Διαμέσων ισχύει: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 - {\rm A}{\rm B}^2 = 2{\rm B}\Gamma \cdot \Delta {\rm M}$ (2)
Από Πυθ. Θεώρημα ισχύει: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 + {\rm A}{\rm B}^2 = {\rm B}\Gamma ^2$ (3)
Προσθέτουμε (2) και (3): $\displaystyle 2{\rm A}\Gamma ^2 = {\rm B}\Gamma ^2 + 2{\rm B}\Gamma \cdot \Delta {\rm M}$ (4)
Λόγω της (1) η (4) γίνεται: $\displaystyle 2{\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma ^2 + 2{\rm B}\Gamma \cdot \Delta {\rm M}\;\; \Rightarrow \;2{\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma + 2\Delta {\rm M}$ και αφού ΒΓ = 2ΑΜ, είναι: ΑΒ = ΑΜ + ΔΜ.

Αντίστροφα:
Έστω ότι στο ΑΒΓ της υπόθεσης ισχύει: ΑΒ = ΑΜ + ΔΜ (5)
Αφού ΑΜ διάμεσος στη ΒΓ, είναι: ΒΓ = 2ΑΜ (6)
Από 2ο Θ. Διαμέσων ισχύει: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 - {\rm A}{\rm B}^2 = 2{\rm B}\Gamma \cdot \Delta {\rm M}$ (2)
Λόγω της (5) και της (6) η (2) γίνεται: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 - {\rm A}{\rm B}^2 = 2{\rm B}\Gamma \cdot \left( {{\rm A}{\rm B} - \frac{1}{2}{\rm B}\Gamma } \right) = 2{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma - {\rm B}\Gamma ^2$ , η οποία, λόγω του Πυθ. Θεωρήματος γίνεται: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 - {\rm A}{\rm B}^2 = 2{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma - {\rm A}\Gamma ^2 - {\rm A}{\rm B}^2 \; \Rightarrow {\rm A}\Gamma ^2 = {\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma$ , οπότε το ΑΒΓ είναι "χρυσό".

Γιώργος Ρίζος

#9

Κριτήριο 65.

Αγαπητέ Γιώργο Ρίζο,
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις το 65 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου και την μεγάλη συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας στο κυνήγι των Κριτηρίων του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Την συνεισφορά σου αυτή αποκάλεσα μεγάλη επειδή αναφέρεται σε γωνία του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», που μέχρι τώρα δεν έχει εμφανισθεί και κυρίως επειδή η τιμή του συνημίτονου αυτής συνδέεται με τον αριθμό Φ (Φειδίου), που μας ενδιαφέρει Γεωμετρικά. Βεβαίως είναι γνωστό ότι ο αριθμός F (Fibonacci) συμπίπτει με τον αριθμό Φ (Φειδία), όμως θα πρότεινα εδώ (στη Γεωμετρία) να τον ονομάζουμε αριθμό Φ (Φειδία).
Μέχρι τώρα είχα υπόψη μου ότι η γωνία Β είναι ίση με 51 μοίρες και 50 πρώτα, αλλά δεν επεδίωξα να την χρησιμοποιήσω σε σχετικό Κριτήριο.
Και τώρα μετά την παραπάνω επιτυχία, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας για την ανακάλυψη του 66 Κριτήριου του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#10

Rigio έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
επειδή θα μας χρειασθεί στην παραπέρα προσπάθειά μας και προκειμένου να εκπληρώσω υπόσχεσή μου, προτείνω για απόδειξη το παρακάτω πρώτο κριτήριο «Χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».

Κριτήριο 1.
6ι((40). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Αν γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ και ΑΒ=ΓΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με Α = 1 ορθή και Δ προβολή του Α στη ΒΓ είναι: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 = {\rm B}\Gamma \cdot \Gamma \Delta$ (1).
Αν ΑΒ = ΓΔ τότε η (1) γίνεται: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 = {\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}$ , οπότε το ΑΒΓ είναι "χρυσό".

Αντίστροφα: Αν ΑΒΓ "χρυσό", τότε $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 = {\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}$ (2) και αφού ισχύει η (1), θα είναι ΑΒ = ΓΔ.

Και μια ακόμα προσπάθεια για ανακάλυψη νέων κριτηρίων

ΝΕΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Αν γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ, Μ το μέσο της διαμέσου ΒΓ. Δείξτε ότι όταν και μόνο όταν ΑΒ = ΑΜ + ΔΜ, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Απόδειξη:
Έστω ότι το ΑΒΓ της υπόθεσης είναι "χρυσό", οπότε: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 = {\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}$ (1)
Από 2ο Θ. Διαμέσων ισχύει: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 - {\rm A}{\rm B}^2 = 2{\rm B}\Gamma \cdot \Delta {\rm M}$ (2)
Από Πυθ. Θεώρημα ισχύει: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 + {\rm A}{\rm B}^2 = {\rm B}\Gamma ^2$ (3)
Προσθέτουμε (2) και (3): $\displaystyle 2{\rm A}\Gamma ^2 = {\rm B}\Gamma ^2 + 2{\rm B}\Gamma \cdot \Delta {\rm M}$ (4)
Λόγω της (1) η (4) γίνεται: $\displaystyle 2{\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma ^2 + 2{\rm B}\Gamma \cdot \Delta {\rm M}\;\; \Rightarrow \;2{\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma + 2\Delta {\rm M}$ και αφού ΒΓ = 2ΑΜ, είναι: ΑΒ = ΑΜ + ΔΜ.

Αντίστροφα:
Έστω ότι στο ΑΒΓ της υπόθεσης ισχύει: ΑΒ = ΑΜ + ΔΜ (5)
Αφού ΑΜ διάμεσος στη ΒΓ, είναι: ΒΓ = 2ΑΜ (6)
Από 2ο Θ. Διαμέσων ισχύει: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 - {\rm A}{\rm B}^2 = 2{\rm B}\Gamma \cdot \Delta {\rm M}$ (2)
Λόγω της (5) και της (6) η (2) γίνεται: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 - {\rm A}{\rm B}^2 = 2{\rm B}\Gamma \cdot \left( {{\rm A}{\rm B} - \frac{1}{2}{\rm B}\Gamma } \right) = 2{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma - {\rm B}\Gamma ^2$ , η οποία, λόγω του Πυθ. Θεωρήματος γίνεται: $\displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 - {\rm A}{\rm B}^2 = 2{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma - {\rm A}\Gamma ^2 - {\rm A}{\rm B}^2 \; \Rightarrow {\rm A}\Gamma ^2 = {\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma$ , οπότε το ΑΒΓ είναι "χρυσό".

Γιώργος Ρίζος

Κριτήριο 66.

Αγαπητέ Γιώργο,
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις το 66 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου και την δεύτερή σου κατά σειρά συνεισφορά στην προσπάθειά μας, στο κυνήγι των Κριτηρίων του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Είναι εύκολο να έχουμε και μία άλλη απόδειξη του παραπάνω νέου σου Κριτηρίου 66, με εφαρμογή του Κριτηρίου 1, την οποία και θα αναρτήσω με την πρώτη μου ευκαιρία.

Φίλε Γιώργο
πιθυμώ ακόμη να σε ευχαριστήσω θερμά και για τhν επιτυχή και σύντομη απόδειξη του Κριτηρίου 1, η οποία και συμπίπτει με τη δική μου. Έτσι, εγώ δεν θα την αναρτήσω, όπως είχα υποσχεθεί (Είναι πλεονασμός).

Και τώρα μετά την παραπάνω επιτυχία, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας για την ανακάλυψη του 67 Κριτήριου του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#11

Αγαπητοί φίλοι,
προκειμένου να εκπληρώσω υπόσχεσή μου, δίνω αμέσως παρακάτω μία άλλη απόδειξη του Κριτηρίου 66 που μας χάρισε ο φίλος Γιώργος Ρίζος, η οποία βασίζεται στο Κριτήριο 1:

Κριτήριο 66.
Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή καιΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ, Μ το μέσον της ΒΓ και ΑΒ=ΑΜ+ΜΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».
Απόδειξη.
(α). Ευθύ.
Δηλαδή, αν το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό», θα αποδείξουμε ότι: ΑΒ=ΑΜ+ΜΔ.
Πραγματικά, σύμφωνα με το κριτήριο 1,αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»θα είναι ΑΒ=ΓΔ. (1).
Ακόμη, επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο θα είναι και ΑΜ=ΜΓ. (2).
Έτσι, η (1), λόγω της (2), γίνεται: ΑΒ=ΓΔ=ΓΜ+ΜΔ=ΑΜ+ΜΔ ή ΑΒ=ΑΜ+ΜΔ.
(β). Αντίστροφο.
Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=ΑΜ+ΜΔ, (3)
θα αποδείξουμε ότι τούτο θα είναι «χρυσό»
Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, θα αληθεύει η (2).
Έτσι, η (3), λόγω της (2), γίνεται: ΑΒ=ΑΜ+ΜΔ=ΓΜ+ΜΔ=ΓΔ ή ΑΒ=ΓΔ. (1).
Συνεπώς, αφού αληθεύει η σχέση (1), σύμφωνα με το Κριτήριο 1, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#12

Κριτήριο 67.
Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 40, τo 67 [Πρόταση 10ι(188)] πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί, το 68 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ σε προσωπικό επίπεδο αναζητώ το 66 Κριτήριο.

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#13

Κριτήριο 68.

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 41, τo 68 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Πρόταση 10ι(189)],το οποίο αποτελεί και το 66 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί, το 69 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το 67 Κριτήριο.

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#14

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω παρακάτω τo 69 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Πρόταση 10ι(190)],το οποίο αποτελεί και το 67 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το 70 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το 68 Κριτήριο.

Κριτήριο 69.

10ι(190). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ και είναι: (ΔΑΓ):(ΔΒΑ)=ΒΓ:ΓΔ, (1). τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αγαπητοί φίλοι,
επειδή η απόδειξη του κριτηρίου 69 είναι απλή, δε θα τη δώσω σήμερα. Πιθανόν να τη δώσω αργότερα, αν είναι ανάγκη.
Όμως προτείνω, στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τη δική τους απόδειξη.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#15

Κριτήριο 70.

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 42, τo 70 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Πρόταση 10ι(191)],το οποίο αποτελεί και το 68 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το 71 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το 69 Κριτήριο.

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#16

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα θα σας προτείνω για απόδειξη τις παρακάτω δύο βοηθητικές Προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατό να βοηθήσουν στην προσπάθειά μας.
Οι Προτάσεις αυτές με τις αποδείξεις τους, αναφέρονται στον τόμο 7 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στις παραγράφους 7ι(134) και 7ι(137) και στις οποίες μπορούμε να στηριζόμαστε για την απόδειξη των Κριτηρίων.
Αργότερα, όταν βρω χρόνο, θα δώσω τις αποδείξεις τους, αν και είναι εύκολες και εφόσον δεν δοθούν στο μεταξύ από κάποιο φίλο.

Βοηθητικές Προτάσεις.
Λήμμα 1.
7ι(134). Κάθε τρίγωνο, όμοιο με χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο, είναι επίσης χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 43, δίνω την απόδειξη του Λήμματος 1 [Πρόταση 7ι(134)], όπως είχα υποσχεθεί.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#17

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
προκειμένου να εκπληρώσω υπόσχεσή μου, αλλά και επειδή θα μας χρειασθούν να τα χρησιμοποιήσουμε στην εν συνεχεία προσπάθειά μας, προτείνω για απόδειξη την παρακάτω δέσμη κριτηρίων, ενώ θα ακολουθήσουν και άλλες δέσμες κριτηρίων «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Οι αποδείξεις των κριτηρίων αυτών είναι εύκολες, ενώ περιέχονται στους 6 και 7 τόμους του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας». Αν μου δοθεί ευκαιρία θα δώσω και εγώ τις αποδείξεις μερικών από τα κριτήρια αυτά, εφόσον φυσικά δεν θα έχουν δοθεί στο μεταξύ από φίλους.
Προκειμένου να συνεχισθεί απρόσκοπτα το κυνήγι πρωτοεμφανιζόμενων σχετικών κριτηρίων μπορούν οι φίλοι να χρησιμοποιούν για να στηρίξουν τις αποδείξεις τους στις εκφωνήσεις των κριτηρίων που θα έχουν δοθεί, έστω και αν δεν έχουν δοθεί οι αποδείξεις τους:

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
δίνω παρακάτω τη Δέσμη Κριτηρίων 2, όπως είχα υποσχεθεί:

Δέσμη Κριτηρίων 2.

Κριτήριο 9.
7ι(128). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ, Ε είναι οι προβολές των Α, Δ στις ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα και το Ε είναι χρυσή τομή της ΑΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 10.
7ι(128). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ, Ζ είναι οι προβολές των Α, Δ στις ΒΓ, ΑΒ αντίστοιχα και το Ζ είναι χρυσή τομή της ΑΒ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 11.
7ι(129). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ και η ΑΔ είναι χρυσή τέμνουσα της επιφάνειας του τριγώνου ΑΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 12.
7ι(129). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), ΒΕ είναι η διχοτόμος της γωνίας Β και η ΒΕ είναι χρυσή τέμνουσα της επιφάνειας του τριγώνου ΑΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 13.
7ι(130). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, ΒΕ είναι η διχοτόμος της γωνίας Β, Η η τομή των ΑΔ, ΒΕ και το Η είναι χρυσή τομή της ΒΕ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 14.
7ι(131). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ,Θ το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΓΔ και τα Δ, Θ είναι σημεία ισοτομικά της ΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 15.
7ι(132). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε είναι η προβολή του Δ στην ΑΓ, Θ η προβολή του Ε στην ΓΔ και τα Δ, Θ είναι σημεία ισοτομικά της ΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#18

Κριτήριο 71.

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 44, τo 71 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Πρόταση 10ι(192)],το οποίο αποτελεί και το 69 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το 72 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το 70 Κριτήριο.

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#19

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω παρακάτω τo 72 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Πρόταση 10ι(193)],το οποίο αποτελεί και το 70 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το 73 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το 71 Κριτήριο.

Κριτήριο 72.

10ι(193). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ, Η το ίχνος της γωνίας Β στην ΑΔ και είναι: (ΔΑΓ):(ΔΒΑ)=ΑΗ:ΗΔ, (α), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αγαπητοί φίλοι,
επειδή η απόδειξη του κριτηρίου 72 είναι απλή, δε θα τη δώσω σήμερα. Πιθανόν να τη δώσω αργότερα, αν είναι ανάγκη.
Όμως προτείνω, στους ενδιαφερόμενους φίλους, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τη δική τους απόδειξη.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#20

Κριτήριο 73.

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 45, τo 73 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Πρόταση 10ι(194)],το οποίο αποτελεί και το 71 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το 74 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το 72 Κριτήριο.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 214 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 214 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 63 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 63 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 63 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 64 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 64 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 64 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 64 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 64 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 64 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 64 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 67 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 69 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 70 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 71 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 64 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 63 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 72 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 73 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 74 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Μέλη σε σύνδεση