Συναρτησιακή 1

#1

Δεν είμαι σίγουρος για το αν κάνω κατάλληλη επιλογή φακέλλου, αλλά οι μέχρι τώρα προσπάθειες μου δεν έδωσαν αποτέλεσμα, οπότε δεν ξέρω αν τα εργαλεία που χρειάζονται για τη λύση της είναι αυτά που απαιτεί τούτος ο φάκελλος. Την μοιράζομαι μαζί σας :
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , για τις οποίες υπάρχει συνάρτηση $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , 1-1, ώστε $f(g(x+y))=g(f(x)+f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}$
Φιλικά

Ανδρέας Πούλος · #2

Θέτω x = y = 0 και παίρνω: f(g(0)) = g(2f(0)), (1).
Θέτω y = -x και παίρνω: f(g(0)) = g(f(x) + f(-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(0)) = g(f(x) + f(-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(0) = f(x) + f(-x) για κάθε πραγματικό x, (3).
Από την (3) προκύπτει ότι όλες οι σταθερές συναρτήσεις και όλες οι συνεχείς και περιττές συναρτήσεις είναι λύσεις της συναρτησιακής μας εξίσωσης.
Ισχυρίζομαι ότι δεν υπάρχουν άλλες συναρτήσεις που είναι λύσεις της δεδομένης εξίσωσης.
Ες αύριον τα σπουδαία.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

S.E.Louridas · #3

Φίλε Σπύρο συμφωνώ με τον Ανδρέα ,αλλά γιατί οδηγήσαι κατασκευαστικά να δώσεις την συνέχεια;
Τα παραπάνω συμπεράσματα θα έβγαιναν καί αν δεν ζητούσες συνέχεια αλλά και γιά τυχούσα g 1-1.Τελικά μήπως παίζει κάποιο ρόλο η διατήρηση του προσήμου σε ανοικτά διαστήματα με στοιχεία μή ρίζες της συνάρτησης; Θα δούμε....

S.E.Louridas

#4

Θέτω x = y = 1 και παίρνω: f(g(2)) = g(2f(1)), (1).
Θέτω y = -x+2 και παίρνω: f(g(2)) = g(f(x) + f(2-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(1)) = g(f(x) + f(2-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(1) = f(x) + f(2-x) για κάθε πραγματικό x.

Επίσης ...

Θέτω x = y = 2 και παίρνω: f(g(4)) = g(2f(2)), (1).
Θέτω y = -x+4 και παίρνω: f(g(4)) = g(f(x) + f(4-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(2)) = g(f(x) + f(4-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(2) = f(x) + f(4-x) για κάθε πραγματικό x.

κ.λ.π.

Η λύση είναι αρκετά βαθειά κρυμένη .... πανέμορφο θέμα ...

#5

Ανδρέας Πούλος έγραψε:...
Από την (3) προκύπτει ότι όλες οι σταθερές συναρτήσεις και όλες οι συνεχείς και περιττές συναρτήσεις είναι λύσεις της συναρτησιακής μας εξίσωσης.
Ισχυρίζομαι ότι δεν υπάρχουν άλλες συναρτήσεις που είναι λύσεις της δεδομένης εξίσωσης.
Ες αύριον τα σπουδαία.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Δηλαδή Ανδρέα ισχυρίζεσαι ότι η f(x)=sinx

είναι λύση του προβλήματος; Δεν νομίζω
Φίλε Σωτήρη, η συνέχεια χρειάζεται οπωσδήποτε (στη λύση που έχω υπόψη μου εγώ-Δεν την καταθέτω, γιατί έχουν άλλοι προτεραιότητα) Να κάνω και μία διευκρίνηση: Η άσκηση δεν είναι δικής μου επινόησης. Νομίζω πως είναι από έναν πολύ παλαιό Ρουμάνικο Διαγωνισμό. Όπως τη βρήκα έτσι και τη δημοσίευσα. Μέχρι χθες με παίδευσε και εμένα πολύ η λύση της. Αλλά για να καταλάβουμε τη χρήση της συνέχειας, ας πάρουμε μία μερική περίπτωσή της: Αν είχαμε στην υπόθεση επιπλέον f(0)=0

, τότε η δοθείσα για y=0

, δίνει
$g(f(x))=f(g(x)), \forall x\in \mathbb{R} \Rightarrow g(f(x+y))=f(g(x+y))=g(f(x)+f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow (1-1) f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$ , άρα επειδή είναι συνεχής (Cauchy) f(x)=ax

Φιλικά

dement · #6

Εδω δινω τη λυση που βρηκα.

Εστω x + y = 2u

. Τοτε εχουμε f[g(x+y)] = f[g(2u)]

, δηλαδη

και

απο το 1-1 της

.

Δηλαδη, για οποιαδηποτε δυο σημεια του γραφηματος της

, ισχυει οτι το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος που οριζουν ειναι επισης σημειο του γραφηματος.

Με επαγωγη βλεπουμε οτι, για καθε δυο σημεια x,y

, οι τιμες των σημειων rx + (1-r)y

, οπου

ρητος με τερματιζομενο δυαδικο αναπτυγμα ανηκουν στην ευθεια που οριζεται απο τα $(x,f(x)), \ (y, f(y))$ .

Ομως το συνολο των 'δυαδικα τερματιζομενων' ρητων ειναι πυκνο στο $\mathbb{R}$ . Ετσι, αφου η

ειναι συνεχης, θα ειναι και γραμμικη.

Αντιστροφα, καθε γραμμικη (η σταθερη)

ειναι λυση. Η g(x) = x/2

ικανοποιει ολες τις γραμμικες και σταθερες

.

Δημητρης Σκουτερης

S.E.Louridas · #7

Ακριβώς φίλε Σπύρο ήμουν σίγουρος ότι άσκηση πού προτείνεις εσύ σίγουρα θά έχει τουλάχιστον ένα μαθηματικό σημείο που πρέπει να προσέξει ιδιαίτερα ο λύτης, ήμουν σίγουρος γιά τον ρόλο της 'κατάστασης' Συνεχής (Τεράστια Μαθηματική έννοια με προεκτάσεις ασύλληπτες).Τί σημασία έχει ποιού είναι η άσκηση; Γιά μένα ο φίλος Σπύρος είναι από τις αξίες που Αντανακλώνται.

S.E.Louridas

#8

Δημήτρη απλώς

Σωτήρη σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια

Ανδρέας Πούλος · #9

Σπύρο,
έχεις δίκαιο για την επιπόλαιη απάντησή μου. Το "όλες οι περιττές συναρτήσεις" ήταν άμεσα καταρρίψιμο.
Για την παρατήρηση του Δημήτρη, έχω να δώσω εκτός από την g(x) = x/2 και τη λύση f(x) = ax με α = 0 ή α όχι 0 και g(x) = x.
Αν και το ζητούμενο είναι μόνο η συνάρτηση f και όχι η g.
Το θέμα πάντως, έχει ενδιαφέρον για επιπλέον γενικεύσεις.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#10

s.kap έγραψε:Δεν είμαι σίγουρος για το αν κάνω κατάλληλη επιλογή φακέλλου, αλλά οι μέχρι τώρα προσπάθειες μου δεν έδωσαν αποτέλεσμα, οπότε δεν ξέρω αν τα εργαλεία που χρειάζονται για τη λύση της είναι αυτά που απαιτεί τούτος ο φάκελλος. Την μοιράζομαι μαζί σας :
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , για τις οποίες υπάρχει συνάρτηση $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , 1-1, ώστε $f(g(x+y))=g(f(x)+f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}$
Φιλικά

Για

είναι

οπότε

Από την αρχική g(f(x+y)+f(0))=g(f(x)+f(y))

και, αφού η

είναι 1-1, f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y)

οπότε $f(x)=ax+b, \ \forall x \in \mathbb{R},$ που είναι πάντα λύση αρκεί να επιλέξουμε π.χ. $g(x)=\frac{x}{2}.$

Συναρτησιακή 1

Συναρτησιακή 1

Re: Συναρτησιακή 1

Re: Συναρτησιακή 1

Re: Συναρτησιακή 1

Re: Συναρτησιακή 1

Re: Συναρτησιακή 1

Re: Συναρτησιακή 1

Re: Συναρτησιακή 1

Re: Συναρτησιακή 1

Re: Συναρτησιακή 1

Μέλη σε σύνδεση