Συναρτησιακή 1
Συντονιστής: emouroukos
Συναρτησιακή 1
Δεν είμαι σίγουρος για το αν κάνω κατάλληλη επιλογή φακέλλου, αλλά οι μέχρι τώρα προσπάθειες μου δεν έδωσαν αποτέλεσμα, οπότε δεν ξέρω αν τα εργαλεία που χρειάζονται για τη λύση της είναι αυτά που απαιτεί τούτος ο φάκελλος. Την μοιράζομαι μαζί σας :
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις , για τις οποίες υπάρχει συνάρτηση , 1-1, ώστε
Φιλικά
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις , για τις οποίες υπάρχει συνάρτηση , 1-1, ώστε
Φιλικά
Σπύρος Καπελλίδης
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή 1
Θέτω x = y = 0 και παίρνω: f(g(0)) = g(2f(0)), (1).
Θέτω y = -x και παίρνω: f(g(0)) = g(f(x) + f(-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(0)) = g(f(x) + f(-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(0) = f(x) + f(-x) για κάθε πραγματικό x, (3).
Από την (3) προκύπτει ότι όλες οι σταθερές συναρτήσεις και όλες οι συνεχείς και περιττές συναρτήσεις είναι λύσεις της συναρτησιακής μας εξίσωσης.
Ισχυρίζομαι ότι δεν υπάρχουν άλλες συναρτήσεις που είναι λύσεις της δεδομένης εξίσωσης.
Ες αύριον τα σπουδαία.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
Θέτω y = -x και παίρνω: f(g(0)) = g(f(x) + f(-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(0)) = g(f(x) + f(-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(0) = f(x) + f(-x) για κάθε πραγματικό x, (3).
Από την (3) προκύπτει ότι όλες οι σταθερές συναρτήσεις και όλες οι συνεχείς και περιττές συναρτήσεις είναι λύσεις της συναρτησιακής μας εξίσωσης.
Ισχυρίζομαι ότι δεν υπάρχουν άλλες συναρτήσεις που είναι λύσεις της δεδομένης εξίσωσης.
Ες αύριον τα σπουδαία.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή 1
Φίλε Σπύρο συμφωνώ με τον Ανδρέα ,αλλά γιατί οδηγήσαι κατασκευαστικά να δώσεις την συνέχεια;
Τα παραπάνω συμπεράσματα θα έβγαιναν καί αν δεν ζητούσες συνέχεια αλλά και γιά τυχούσα g 1-1.Τελικά μήπως παίζει κάποιο ρόλο η διατήρηση του προσήμου σε ανοικτά διαστήματα με στοιχεία μή ρίζες της συνάρτησης; Θα δούμε....
S.E.Louridas
Τα παραπάνω συμπεράσματα θα έβγαιναν καί αν δεν ζητούσες συνέχεια αλλά και γιά τυχούσα g 1-1.Τελικά μήπως παίζει κάποιο ρόλο η διατήρηση του προσήμου σε ανοικτά διαστήματα με στοιχεία μή ρίζες της συνάρτησης; Θα δούμε....
S.E.Louridas
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Re: Συναρτησιακή 1
Θέτω x = y = 1 και παίρνω: f(g(2)) = g(2f(1)), (1).
Θέτω y = -x+2 και παίρνω: f(g(2)) = g(f(x) + f(2-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(1)) = g(f(x) + f(2-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(1) = f(x) + f(2-x) για κάθε πραγματικό x.
Επίσης ...
Θέτω x = y = 2 και παίρνω: f(g(4)) = g(2f(2)), (1).
Θέτω y = -x+4 και παίρνω: f(g(4)) = g(f(x) + f(4-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(2)) = g(f(x) + f(4-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(2) = f(x) + f(4-x) για κάθε πραγματικό x.
κ.λ.π.
Η λύση είναι αρκετά βαθειά κρυμένη .... πανέμορφο θέμα ...
Θέτω y = -x+2 και παίρνω: f(g(2)) = g(f(x) + f(2-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(1)) = g(f(x) + f(2-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(1) = f(x) + f(2-x) για κάθε πραγματικό x.
Επίσης ...
Θέτω x = y = 2 και παίρνω: f(g(4)) = g(2f(2)), (1).
Θέτω y = -x+4 και παίρνω: f(g(4)) = g(f(x) + f(4-x)), (2).
Από (1) και (2) προκύπτει g(2f(2)) = g(f(x) + f(4-x)) για κάθε πραγματικό x.
Όμως η g είναι 1-1. Άρα 2f(2) = f(x) + f(4-x) για κάθε πραγματικό x.
κ.λ.π.
Η λύση είναι αρκετά βαθειά κρυμένη .... πανέμορφο θέμα ...
Σεραφείμ Τσιπέλης
Re: Συναρτησιακή 1
Δηλαδή Ανδρέα ισχυρίζεσαι ότι η είναι λύση του προβλήματος; Δεν νομίζωΑνδρέας Πούλος έγραψε:...
Από την (3) προκύπτει ότι όλες οι σταθερές συναρτήσεις και όλες οι συνεχείς και περιττές συναρτήσεις είναι λύσεις της συναρτησιακής μας εξίσωσης.
Ισχυρίζομαι ότι δεν υπάρχουν άλλες συναρτήσεις που είναι λύσεις της δεδομένης εξίσωσης.
Ες αύριον τα σπουδαία.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
Φίλε Σωτήρη, η συνέχεια χρειάζεται οπωσδήποτε (στη λύση που έχω υπόψη μου εγώ-Δεν την καταθέτω, γιατί έχουν άλλοι προτεραιότητα) Να κάνω και μία διευκρίνηση: Η άσκηση δεν είναι δικής μου επινόησης. Νομίζω πως είναι από έναν πολύ παλαιό Ρουμάνικο Διαγωνισμό. Όπως τη βρήκα έτσι και τη δημοσίευσα. Μέχρι χθες με παίδευσε και εμένα πολύ η λύση της. Αλλά για να καταλάβουμε τη χρήση της συνέχειας, ας πάρουμε μία μερική περίπτωσή της: Αν είχαμε στην υπόθεση επιπλέον , τότε η δοθείσα για , δίνει
, άρα επειδή είναι συνεχής (Cauchy)
Φιλικά
Σπύρος Καπελλίδης
Re: Συναρτησιακή 1
Εδω δινω τη λυση που βρηκα.
Εστω . Τοτε εχουμε , δηλαδη και απο το 1-1 της .
Δηλαδη, για οποιαδηποτε δυο σημεια του γραφηματος της , ισχυει οτι το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος που οριζουν ειναι επισης σημειο του γραφηματος.
Με επαγωγη βλεπουμε οτι, για καθε δυο σημεια , οι τιμες των σημειων , οπου ρητος με τερματιζομενο δυαδικο αναπτυγμα ανηκουν στην ευθεια που οριζεται απο τα .
Ομως το συνολο των 'δυαδικα τερματιζομενων' ρητων ειναι πυκνο στο . Ετσι, αφου η ειναι συνεχης, θα ειναι και γραμμικη.
Αντιστροφα, καθε γραμμικη (η σταθερη) ειναι λυση. Η ικανοποιει ολες τις γραμμικες και σταθερες .
Δημητρης Σκουτερης
Εστω . Τοτε εχουμε , δηλαδη και απο το 1-1 της .
Δηλαδη, για οποιαδηποτε δυο σημεια του γραφηματος της , ισχυει οτι το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος που οριζουν ειναι επισης σημειο του γραφηματος.
Με επαγωγη βλεπουμε οτι, για καθε δυο σημεια , οι τιμες των σημειων , οπου ρητος με τερματιζομενο δυαδικο αναπτυγμα ανηκουν στην ευθεια που οριζεται απο τα .
Ομως το συνολο των 'δυαδικα τερματιζομενων' ρητων ειναι πυκνο στο . Ετσι, αφου η ειναι συνεχης, θα ειναι και γραμμικη.
Αντιστροφα, καθε γραμμικη (η σταθερη) ειναι λυση. Η ικανοποιει ολες τις γραμμικες και σταθερες .
Δημητρης Σκουτερης
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή 1
Ακριβώς φίλε Σπύρο ήμουν σίγουρος ότι άσκηση πού προτείνεις εσύ σίγουρα θά έχει τουλάχιστον ένα μαθηματικό σημείο που πρέπει να προσέξει ιδιαίτερα ο λύτης, ήμουν σίγουρος γιά τον ρόλο της 'κατάστασης' Συνεχής (Τεράστια Μαθηματική έννοια με προεκτάσεις ασύλληπτες).Τί σημασία έχει ποιού είναι η άσκηση; Γιά μένα ο φίλος Σπύρος είναι από τις αξίες που Αντανακλώνται.
S.E.Louridas
S.E.Louridas
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή 1
Σπύρο,
έχεις δίκαιο για την επιπόλαιη απάντησή μου. Το "όλες οι περιττές συναρτήσεις" ήταν άμεσα καταρρίψιμο.
Για την παρατήρηση του Δημήτρη, έχω να δώσω εκτός από την g(x) = x/2 και τη λύση f(x) = ax με α = 0 ή α όχι 0 και g(x) = x.
Αν και το ζητούμενο είναι μόνο η συνάρτηση f και όχι η g.
Το θέμα πάντως, έχει ενδιαφέρον για επιπλέον γενικεύσεις.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
έχεις δίκαιο για την επιπόλαιη απάντησή μου. Το "όλες οι περιττές συναρτήσεις" ήταν άμεσα καταρρίψιμο.
Για την παρατήρηση του Δημήτρη, έχω να δώσω εκτός από την g(x) = x/2 και τη λύση f(x) = ax με α = 0 ή α όχι 0 και g(x) = x.
Αν και το ζητούμενο είναι μόνο η συνάρτηση f και όχι η g.
Το θέμα πάντως, έχει ενδιαφέρον για επιπλέον γενικεύσεις.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή 1
s.kap έγραψε:Δεν είμαι σίγουρος για το αν κάνω κατάλληλη επιλογή φακέλλου, αλλά οι μέχρι τώρα προσπάθειες μου δεν έδωσαν αποτέλεσμα, οπότε δεν ξέρω αν τα εργαλεία που χρειάζονται για τη λύση της είναι αυτά που απαιτεί τούτος ο φάκελλος. Την μοιράζομαι μαζί σας :
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις , για τις οποίες υπάρχει συνάρτηση , 1-1, ώστε
Φιλικά
Για είναι οπότε
Από την αρχική και, αφού η είναι 1-1,
οπότε που είναι πάντα λύση αρκεί να επιλέξουμε π.χ.
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες