Δροσερη γεωμετρια 2

[dement]

Να κατασκευαστει τριγωνο με πλευρες και ακτινα περιγεγραμμενου κυκλου οταν ειναι γνωστα τα και .

(Απο το College Geometry του N. Altshiller-Court, οπως και η προηγουμενη 'δροσερη' - ξεχασα να το αναφερω).

Δημητρης Σκουτερης

[S.E.Louridas]

Γειά σου φίλε Δημήτρη.
Με τέτοια ζέστη, προσπαθούμε να μην αρνηθούμε αυτό που μας προσφέρεις.
Εστω D σημείο στην προέκταση της CΑ ώστε CD=b+c.To D προφανώς κινήται σε σταθερό κύκλο οπότε σε αυτόν θεωρούμε την διαμετρο CE.
Aν Τ ηπροβολή του Α στη CE τότε CT*CE=b(b+c) σταθερό άρα το Τ σταθερό οπότε και η ευθεία ΤΑ, με το Α να κινήται ταυτόχρονα σε σταθερό κύκλο.....

S.E.Louridas

[S.E.Louridas]

Φίλε Δημήτρη,
Επειδή στίς μέρες μας και στην πατρίδα μας δηλαδή την πατρίδα που άναπτύχθηκε η Γεωμετρία, δεν γίνεται κατανοητό ότι η Γεωμετρία Τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν αποτελεί οπτικολογική μέθοδο τεράστιας Μαθηματικής προπόνησης γιά την ευρύτερη Μαθηματική απόδοση προς την κατεύθυνση της επίλυσης Μαθηματικών προβλημάτων, θά μπορούσες να έδινες περισσότερες λεπτομέρειες γιά το College Geometry που ανέφερες;

Σε ευχαριστώ

Σωτήρης

[dement]

Καλημερα. Σωτηρη.

Στο παρακατω link (στο Amazon) μπορεις να βρεις περισσοτερες λεπτομερειες για το βιβλιο. Εγω το βρηκα και στον Ελευθερουδακη και στον Παπασωτηριου. Ειναι θαυμασιο! Ξεκιναει απο ενα στοιχειωδες επιπεδο (οχι τελειως ομως - π.χ. οι εννοιες υψος, διαμεσος, διχοτομος θεωρουνται γνωστες) και καλυπτει θεματα οπως θεωρηματα Μενελαου, Ceva, Desargues, Stewart, ισογωνιες ευθειες, ριζικους αξονες/κεντρα κλπ. Μου αρεσε επισης το γεγονος οτι καθε κεφαλαιο συνοδευεται απο μεγαλο αριθμο ασκησεων.

http://www.amazon.com/College-Geometry- ... 0486458059

Δημητρης Σκουτερης

[Stefanos87]

Εστω D σημείο στην προέκταση της CΑ ώστε CD=b+c.To D προφανώς κινήται σε σταθερό κύκλο οπότε σε αυτόν θεωρούμε την διαμετρο CE.
Aν Τ ηπροβολή του Α στη CE τότε CT*CE=b(b+c) σταθερό άρα το Τ σταθερό οπότε και η ευθεία ΤΑ, με το Α να κινήται ταυτόχρονα σε σταθερό κύκλο.....
S.E.Louridas

Kurie Λουρίδα,

Kapou prepei na kolaw, afou den katalavainw akrivws se pio stathero kuklo anaferestai gia to D. Ek kataskeuis exoume CA*CD=b(b+c) pou einai dothen, ara to D anikei stin antistrori tou perigegrammenou tou ABC os pros C me dothen logo, ara se statheri eutheia.

Mia (alli) lusi einai na theorisoume to simio L stin eutheia CB wste CB*CL=b(b+c) kai meta na paroume tin tomi tou perigegrammenou kiklou tou ABC me tin eutheia pou dierxetai apo to L kai sximatizei goneia me tin LC isi me A/2. (Auti i kataskeui den apaitei tin kataskeui tou a-priori mi gnwstou D).

Stefanos.

PS. Kurie Λουρίδα, elpizw na min me ksexasate!

[vittasko]

Έστω το σημείο στην προέκταση της πλευράς προς το μέρος του και έτσι ώστε να είναι

Ο περίκυκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω και από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε ότι και άρα το είναι σταθερό σημείο επί της ευθείας

Από εγγράψιμο επίσης, έχουμε ότι ( από ) και άρα η ευθεία είναι σταθερή.

Το σημείο επομένως ορίζεται ως η τομή του σταθερού κύκλου ( από δοσμένα ), από την ευθεία δια του σταθερού σημείου που σχηματίζει με την ευθεία γωνία ίση με ( = κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας όπου είναι το περίκεντρο του και το μέσον της πλευράς του ).

Η λύση του προβλήματος ολοκληρώνεται με την περιγραφή της κατασκευής και την απαραίτητη διερεύνηση.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Καθώς βλέπω, με την ίδια λύση για τον προσδιορισμό του , προηγήθηκε ο νέος φίλος μας Stefanos87 ( Στέφανος ; ), τον οποίο καλωσορίζω στην παρέα μας και όπως πολύ σωστά μας λέει, το σημείο ανήκει στην σταθερή ευθεία αντίστροφης του κύκλου λόγω της με πόλο αντιστροφής το και δύναμη αντιστροφής .

[S.E.Louridas]

Προφανώς φίλε μου Στέφανε και δεν θα σε ξέχναγα.
Προφανώς η γωνία Α ειναι δεδομένου μέτρου αφού γνωρίζουμε την α και την R.
Αρα και η γωνία D=A/2 είναι σταθερή,οπότε και ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο DBC.Συνεπώς και η διάμετρος CΕ.Από την δύναμη του C στον κύκλο (Α,Κ,C,D) σταθεροποιείται το Κ .Το Α ήδη κινείται στον κύκλο ακτίνας R.
Εν γένει έχουμε 4-λύσεις,2 γιά το μεγάλο τόξο (οταν το Α κινήται εκεί) και 2 γιά το μικρό(οταν το Α κινήται εκεί).
H προσέγγισή μου έγινα ενσυνείδητα γιά να απεγκλωβιστεί η ψυχολογία του ταλέντου αναγνώστη όταν αυτός δεν γνωρίζει την έννοια της αντιστροφής.Δηλαδή ή δύναμη σημείου είναι προγενέστερη του φαινομένου της αντιστροφής άρα στοιχειωδέστερη της.Κατά τα άλλα στο συγκεκριμμένο πρόβλημα η αναφορά στην αντιστροφή δεν απλοποιεί δραματικά τα πράγματα καί γιά τον λόγο αυτό την απέφυγα.

S.E.Louridas

[Stefanos87]

Polu wraia k. Λουρίδα, profanws opws eipa kolisa. Alliws tha mporousame na poume oti to D prosdiorizetai ws tomi tis antistrofis kai tou kiklou sas.

Kurie Vitta euxaristw polu gia to kalwsorisma. Elpizw na mporw kai egw na moirazomai ton enthousiasmo mou sti geometria me esas. Ena enthousiasmo pou mou metedwse o kurios Λουρίδας.

Kurie Λουρίδα, elpizw na ta poume suntoma apo konta (tha eimai Ellada meta ta mesa augoustou).

Stefanos (Aretakis)

[S.E.Louridas]

Επιτρέψτε μου Φίλοι του mathematica να μοιραστώ μαζί σας την συγκίνηση μου που ένα από τα Μεγαλύτερα Ταλέντα
στά Μαθηματικά ο Στέφανος Αρετάκης ,που είχα την μέγιστη τιμή να συνεργαστώ μαζί του επικοινώνησε μαζί μου μετά από σειρά ετών.Αν ευτυχία ενό δασκάλου είναι οι μαθητές με τους οποίους συνεργάστηκε να τον ξεπεράσουν ο Στέφανος με έκανε πολυευτυχισμένο.Γιά την ιστορία αναφέρω ότι σε ηλικία 14,5 ετών πήρε το πρώτο χρυσό μετάλλιο στην βαλκανιάδα των Νέων και ακολούθησε μία Μαθηματική πορεία σε Ελλάδα και εξωτερικό που προσωπικά την ''ζηλεύω''.
Στέφανε σε ευχαριστώ και πάλι

Σωτήρης Ε.Λουρίδας

[Stefanos87]

Κυριε Λουρίδα,

Πραγματικα εγω σας ευχαριστω παρα παρα πολυ για ολα τα ανεκτιμητα κανατε για μενα. Να ξερετε οτι μπορει να εχουμε να τα πουμε πολλα χρονια, ωστοσο δεν εχω σταματησει καθολου να σας σκεφτομαι και να σας ειμαι ευγνωμων. Οσο πιο πολυ ωριμαζω τοσο καταλαβαινω τα λογια σας και προσπαθω να τα εφαρμοσω στη πραξη. Προφανως θελω να γραψω πολλα, αλλα θα εχουμε το χρονο να τα πουμε ολα.

Χαιρομαι που παλι, μεσω του mathematica, θα ειμαι και παλι μαθητης σας.

[Demetres]

Θέλω και εγώ με την σειρά μου να καλωσορίσω ένα εξαιρετικό μαθηματικό όπως τον Στέφανο στο

[Ανδρέας Πούλος]

Τη Γεωμετρία "College Geometry" του Nathan Altshiller-Court την έχω και εγώ.
Αυτός ήταν αμερικανός μαθηματικός, γεννήθηκε το 1881. Το συγκεκριμένο βιβλίο τυπώθηκε το 1952 από τον εκδοτικό οίκο Barnes and Noble
και αργότερα ο οίκος Dover αγόρασε τα δικαιώματά του από τον γυιό του και το επανεξέδωσε.
Ο λόγος που τα γράφω αυτά προσφανώς δεν είναι να κάνω τον έξυπνο,
αλλά επειδή μερικά πράγματα δεν μπορούν να γραφούν όπως θα θέλαμε.
Το Φόρουμ είναι χώρος που διαβάζεται από όλο τον κόσμο, πιθανώς και από τους εκπροσώπους του Dover,
εξάλλου υπάρχουν και τα ελληνικά βιβλιοπωλεία.
Τέλος πάντων, μη λέμε και φλυαρίες, νομίζω ότι όλοι κατάλαβαν τι θέλει να πει ο ποιητής.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος