IMO shortlist 2009

[chris]

Να μία Γεωμετρία και με αφορμή την IMO 2010:

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω ένα τρίγωνο ABC. Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τις πλευρές ΑΒ,AC στα σημεία Ζ και Y αντίστοιχα.Έστω G το σημείο τομής των ΒY και CZ και έστω τα σημεία R και S ώστε τα τετράπλευρα BCYR και BCSZ να είναι παραλληλόγραμμα.Να δείξετε οτι GR=GS



ΕDIT:Έκανα μια μικρή αλλαγή στον τίτλο του topic

[R BORIS]

Με μιγαδικούς έχει εύκολη λύση αλλά με μπόλικες πράξεις (που έκανε το mathematica) δεν είναι κομψό γιαυτο δεν την ανεβάζω, Αν κάποιος θέλει σε ΠΜ

[Κώστας Παππέλης]

Είναι μια άσκηση που πριν από λίγο καιρό είχε απασχολήσει μερικά μέλη του mathematika (εμένα, το Δημήτρη, το Σιλουανό και άλλους). Ο Σιλουανός αν δεν κάνω λάθος είχε κάνει τη λύση με τους μιγαδικούς αλλά τη μόνη γεωμετρική λύση που έχω υπ όψιν έκανε ο μικρός αδερφός του, ο Κωνσταντίνος που είναι φέτος στην ομάδα. Είναι πολύ εμπνευσμένη. Δεν τη δίνω γιατί θέλω να δω αν θα υπάρξουν διαφορετικές γεωμετρικές προσεγγίσεις.

[manos1992]

Ας δοκιμάσω μια λύση με πιθανότητα λάθους 35,34672%(ακριβώς!)

Έστω o εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και ο παρεγγεγραμμένος κύκλος απέναντι από το ..Έστω επίσης ότι οι ανωτέρω κύκλοι εφάπτονται της στο και αντιστοίχως, και ακόμη ότι ο εφάπτεται των , στα αντίστοιχα..

Έχουμε εύκολα ότι

Aλλά ως γνωστόν το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου με τη είναι το συμετρικό του σημείου επαφής του εγγεγραμμένου με τη ως προς το μέσον της ..άρα είναι ..

H παραπάνω ισότητες μας δίνουν ότι (παραλληλόγραμμο)

Ακόμη είναι (λόγω συμμετρίας ξανά)

αλλά οπότε .

Έχουμε δηλαδή ότι οι αποστάσεις των από το είναι ίσες με τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται αξ αυτών στον ...Ο Γεωμετρικός τόπος των σημείων μ αυτή την ιδιότητα είναι η που καλείται ριζικός άξονας των και ..

Έχουμε ομοίως ότι οι αποστάσεις των από το είναι ίσες με τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται αξ αυτών στον ...Ο Γεωμετρικός τόπος των σημείων μ αυτή την ιδιότητα είναι η που καλείται ριζικός άξονας των και .

Έτσι το που είναι η τομή των είναι το ριζικό τους κέντρο απ όπου

ΥΓ:ουφ επιτέλους, μου φαγε πολλήηηη ώρα!
ΥΓ2:στην αρχή μου μύριζε Μενέλαο, Stewart και μετά πολλές πράξεις ίσως αλλά δεν το επιχείρησα. Αν μπορεί καποιος θα μ' ενδιέφερε!

[chris]

Σωστός ο Μάνος.Αυτή είναι και η επίσημη λύση η οποία είναι όντως πολύ εμπνευσμένη και όμορφη αν και υπάρχει και δεύτερη πιο μεγάλη.Θα ήθελα βέβαια να δω και τη λύση με μιγαδικούς.

[achilleas]

Ολόκληρη τη λίστα μπορείτε να τη βρείτε στη σελίδα

http://book.vnmath.com/2010/07/imo-shortlist-2009.html

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Μιχάλης Νάννος]

Καλησπέρα.

Δίνω και τη δική μου λύση (είναι ίδια με του Μάνου), γιατί με απασχόλησε αρκετές ώρες η συγκεκριμένη άσκηση.

Φέρνω τον παρεγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου από την κορυφή με παράκεντρο και σημεία τομής . Το σημείο τομής της και είναι το σημείο Gergonne του τριγώνου. Ισχύει: . Επίσης ισχύει: .
Εφόσον και συμπεραίνουμε ότι η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας του σημείου και του παρεγγεγραμμένου κύκλου.
Εφόσον και συμπεραίνουμε ότι η ευθεία είναι ο ριζικός άξονας του σημείου και του παρεγγεγραμμένου κύκλου.
Τελικά έχουμε ότι το σημείο είναι το ριζικό κέντρο των σημείων και του παρεγγεγραμμένου κύκλου, οπότε έπεται ότι: .

abc.png (78.39 KiB) Προβλήθηκε 1630 φορές

[manos1992]

Αυτή ήταν η λύση με Μενέλαο και stewart;;καταπληπτική αλλά δε θα το κανα ποτέ, τουλάχιστον για τώρα! κύριε Αχιλλέα ευχαριστούμε για την πλήρη shortlist! κι εγώ θέλω να δω λύση με μιγαδικούς...είμαι περίεργος να δω τι σκαρφίστηκε!
Κύριε Μιχάλη έψαχνα τι μου θύμιζε αυτό το σημείο..Gergonne όντως!!
Ομορφότατη άσκηση πάντως..

[chris]

Επι τη ευκαιρία βάζω και όλο το αρχείο των θεμάτων της IMO shortlist 2009.To παραπάνω θέμα προτάθηκε απο το Ιράν.
Να ευχαριστήσω και τον Μιχάλη για την ενασχόληση.

[R BORIS]

Σωστός ο Μάνος.Αυτή είναι και η επίσημη λύση η οποία είναι όντως πολύ εμπνευσμένη και όμορφη αν και υπάρχει και δεύτερη πιο μεγάλη.Θα ήθελα βέβαια να δω και τη λύση με μιγαδικούς.

Θα περιγράψω την λύση που έκανα με μιγαδικούς
έστω ότι ο εγγεγραμμένος είναι ο μοναδιαίος και τα σημεία επαφής του με τις πλευρές ΒC,CΑ,AB είναι οι μιγαδικοί x,y,z τότε ισχύουν κυκλικά


συνευθειακά αρα συζυγές του
όμοια για τα C,Z,G

σύστημα βρίσκουμε συναρτήσει των x,y,z ακόμη

έτσι εκφράζουμε τα r,s συναρτήσει των x,y,z
αρκεί υψώνουμε στο τετράγωνο...(απλοποιήσεις,κοινοί παράγοντες,...)