$A= \mathbb{R}$

#1

Καλημέρα

Αν $\varnothing \neq A \subseteq \mathbb{R}$ και αληθεύει η $x,y \in \mathbb{R}$ και $x+y \in A \Rightarrow xy \in A$ , να αποδείξετε ότι $A=\mathbb{R}$

#2

'Εστω

ένα στοιχείο του

. Αν $x\leq \frac{a^2}{4}$ και $y=\frac{a+\sqrt{a^2-4x}}{2}$ , τότε y(a-y)=x

.

Αφού $y+(a-y)=a\in A$ , από τη δοθείσα ιδιότητα έπεται ότι $x\in A$ . Συνεπώς, $(-\infty, \frac{a^2}{4}] \subset A$ . (1)

Αρκεί, λοιπόν, να δείξουμε ότι το

περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς. Πράγματι, με

Με x=1

και

, έπεται ότι $a-1=1\cdot (a-1) \in A$ . (*)

Με x=-1

και

, έπεται από (*) και τη τη δοθείσα ιδιότητα ότι $-a=-1\cdot a \in A$ . (**)

*****************************************
Edit: Από την (1) και τη (**) το πρόβλημα λύθηκε, αφού έπεται ότι $[-\frac{a^2}{4},+\infty)\subset A$ που σε συνδυασμό με την (1) μας δίνει $\mathbb{R}=A$ .
*****************************************
Με x=-1

και

, έπεται ότι $-a-1=-1\cdot (a+1) \in A$ , που σε συνδυασμό με την (**) μας δίνει ότι $a+1\in A$ (2).

Αφού $0\in A$ (π.χ. από (1)), χρησιμοποιώντας τη (2) επαγωγικά δείχνουμε εύκολα ότι $\mathbb{N} \subset A$ .

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Από άλλον δρόμο:
$x \in A \Rightarrow x+0 \in A \Rightarrow 0 \in A$ (1)
$(x-1)+1 \in A \Rightarrow x-1 \in A$ (2)
$1+(-1)=0 \in A \Rightarrow -1 \in A$ (3)
$(2) \Rightarrow -x \in A$ , άρα από την (3) έχουμε $1\in A$ (4)
Έστω $x_0 \in \mathbb{R} \Rightarrow \sqrt[3]{x_0}- \sqrt[3]{x_0}+1=1 \in A \Rightarrow (-\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{x_0^2}) \in A \Rightarrow \sqrt[3]{x_0^3}=x_0 \in A$ . Και η απόδειξη τελείωσε
Φιλικά

$A= \mathbb{R}$

$A= \mathbb{R}$

Re: $A= \mathbb{R}$

Re: $A= \mathbb{R}$

Μέλη σε σύνδεση