Γεωμετρικός Τόπος-5-

[Φωτεινή]

καλημέρα

Έστω : κύκλος (Ο,ρ),διάμετρος ΑΒ,χορδή ΓΔ κάθετη στην ΑΒ σε σημείο Η (μεταξύ των Ο,Β)
Ν τυχαίο σημείο της χορδής ΓΔ και
Ρ κοινό σημείο των ΑΝ,(Ο)
Σ κοινό σημείο των: τόξου ΓΒΔ και της καθέτου στο Ν της ΑΝ
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ των χορδών ΡΣ

[S.E.Louridas]

Ας μού επιτραπεί ,
να φωτογραφήσω τον γεωμετρικό τόπο (με κάθε επιφύλαξη ).
Είναι κύκλος προερχόμενος από το γεγονός ότι το άθροισμα
βγαίνει,τελικά σταθερό.

S.E.Louridas

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Τόξο κύκλου με κέντρο το μέσο Κ της ΟΑ καθώς η ΚΜ έχει σταθερό μήκος (με μετρικές σχέσεις, Θ. Διαμέσων, κλπ)

[S.E.Louridas]

Το άθροισμα των τετραγώνων (που είναι και η ουσία στην διαπραγμάτευση μου) που αναφέρω βγαίνει σταθερό γιά τούς εξής λόγους:
Αν Η σημείο της ΑΒ ώστε ΝΗ κάθετη στην ΑΒ το τετράπλευρο ΝΡΒΗ είναι εγγράψιμο που έχει κοινή χορδή την ΝΡ με τον κύκλο διαμέτρου ΡΣ. Το σημείο Α ανήκει στην ευθεία ΝΡ οπότε εύκολα πάμε στην σταθερότητα του αθροίσματος τών τετραγώνων που ανέφερα (δύναμη σημείου ως πρός κύκλο...). Άρα με μία πανεύκολη διερεύνηση (οριακά σημεία) προσδιορίζεται το τμήμα του κύκλου.

S.E.Louridas

[vittasko]

Όμορφο πρόβλημα να το προσπαθήσει κάποιος χωρίς μετρικές σχέσεις, προσεγγίζοντας το ακόλουθο ισοδύναμο πρόβλημα.

Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τα ύψη του. Αποδείξτε ότι ο κύκλος με κέντρο το μέσον του όπου είναι το περίκεντρο του και ακτίνα όπου περνάει από το μέσον της πλευράς

Κώστας Βήττας.

[vittasko]

Ας δούμε τη λύση του προβλήματος που έχει τεθεί, σε συνδυασμό με τη λύση του ισοδύναμου αποτελέσματος στο οποίο αναφέρθηκα ( στο σχήμα, αντί του στην εκφώνηση ).

Έστω οι προβολές των επί των αντιστοίχως και έχουμε το ορθόκεντρο του τριγώνου

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε ότι η ευθεία , ως η ευθεία που συνδέει τα σημεία τομής των πλευρών του από κύκλο χορδής ( = αντιπαράλληλη ευθεία της ως προς τη γωνία του ), είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη του περίκυκλου του στο σημείο και άρα έχουμε

Από και και έστω το σημείο

Από εγγράψιμμα τετράπλευρα και ( από Κύκλο Euler του ), έχουμε ότι :



Από συμπεραίνουμε ότι το είναι εγγράψιμο τετράπλευρο σε κύκλο έστω το κέντρο του οποίου είναι προφανώς το σημείο τομής των μεσοκάθετων των

Η μεσοκάθετη ευθεία όμως του τέμνει την μεσοκάθετη του κατά το μέσον του λόγω του τραπεζίου

Συμπεραίνεται έτσι, ότι το μέσον της χορδής όπως ορίζεται στην εκφώνηση, ανήκει στον στον σταθερό κύκλο με κέντρο το μέσον του και ακτίνα

Επειδή τώρα, τα σημεία είναι οριακές θέσεις του επί της δοσμένης χορδής έχουμε ότι οι οριακές θέσεις του επί του κύκλου είναι τα σημεία μέσα αντιστοίχως των ( το σημείο δεν εμφανίζεται στο σχήμα ).

Το τόξο επομένως του σταθερού κύκλου είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του σημείου και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Η λύση αυτή αφιερώνεται σε ένδειξη τιμής στον Δημήτρη Χαρίση ( Dimitris X ), με τις ευχές μου για ότι καλύτερο στους στόχους του για το μέλλον.

Κώστας Βήττας.