The Surprise Examination

[antonis_math]

Ένας δάσκαλος,ανακοινώνει στην τάξη οτι θα δωθεί μια εξέταση μέσα στην επόμενη βδομάδα και επιπλέον οτι η εξέταση θα είναι μια έκπληξη. Οι μαθητές υποστηρίζουν οτι δε θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί τέτοιο διαγώνισμα. Αν το διαγώνισμα επιλεγόταν να δωθεί την τελευταία μέρα της βδομάδας, τότε την προηγούμενη μέρα οι μαθητές θα γνώριζαν οτι την επομένη θα πραγματοποιηθεί διαγώνισμα. Άρα η τελευταία μέρα δεν είναι μια πιθανή μέρα. Έτσι αν είχαμε φτάσει στην προτελευταία μέρα, χωρίς να έχει δωθεί διαγώνισμα θα γνώριζαν πως θα έπρεπε να δωθεί διαγώνισμα οπότε και πάλι το διαγώνισμα δε θα ήταν έκπληξη. Με τον ίδιο τρόπο απορίπτονται όλες οι μέρες τις βδομάδας. Για την ιστορία, το διαγώνισμα δώθηκε και μάλιστα ημέρα Τεταρτη!
Που λέτε οτι πήγε λάθος ο συλλογισμός των μαθητών?

[nsmavrogiannis]

O Αντώνης μας έδωσε μία μεταφορά στην καθ' ημάς εξεταστική πραγματικότητα του γνωστού παραδόξου του απροσδόκητου απαγχονισμού (Unexpected hanging) που έχει μακρά ιστορία τόσο στα διασκεδαστικά Μαθηματικά όσο και στην καθαυτό Μαθηματική Λογική. Δεν γράφω τίποτε περισσότερο γιατι θα χαθεί το γούστο.
Λυσάρι: Για όσους δεν τα πάνε καλά, όπως εγώ, με τους γρίφους: Στο ωραίο βιβλίο του Martin Gardner H Μαγεία των Παραδόξων των εκδόσεων Τροχαλία και σε επιστημονική επιμέλεια (ποιού άλλου;) του Μιχάλη Λάμπρου.
Μαυρογιάννης

[chris_gatos]

Oύτε κι εγώ είμαι πολύ καλός με τους γρίφους, μάλλον μπουμπούνα θα με έλεγα, αλλά μου γεννιέται μια απορία.
Η σκέψη τους αρχίζει απο το τέλος, απο την τελευταία ημέρα, αρα παίρνουν ως ΔΕΔΟΜΕΝΟ, πως μέχρι εκείνη την ημέρα δε θα έχουν γράψει τίποτα. Ποιός το εγγυάται αυτό όμως ;Μα έτσι,πηγαίνοντας προς τα πίσω δε θα καταλήξουν ποτέ σε διαγώνισμα. Λίγο ωχ-αδερφιστές τους κόβω τους συγκεκριμένους μαθητές(χιούμορ)...Το βιβλίο αυτό δεν το έχω,αλλά μπήκε στα...υπ'όψη!

[Φωτεινή]

Αν το διαγώνισμα επιλεγόταν να δωθεί την τελευταία μέρα της βδομάδας, τότε την προηγούμενη μέρα οι μαθητές θα γνώριζαν οτι την επομένη θα πραγματοποιηθεί διαγώνισμα. Άρα η τελευταία μέρα δεν είναι μια πιθανή μέρα. Έτσι αν είχαμε φτάσει στην προτελευταία μέρα, χωρίς να έχει δωθεί διαγώνισμα θα γνώριζαν πως θα έπρεπε να δωθεί διαγώνισμα οπότε και πάλι το διαγώνισμα δε θα ήταν έκπληξη.

Με τον ίδιο τρόπο απορίπτονται όλες οι μέρες τις βδομάδας.

αυτό δεν το καταλαβαίνω.γιατί απορρίπτονται όλες οι μέρες της εβδομάδας;
όταν φτάνουμε στην Τρίτη πχ δεν ξέρουμε σε ποιά από τις επόμενες θα δωθεί το διαγώνισμα
---
όσο για την Τετάρτη είναι η μεσαία μέρα των 5 εργάσιμων

[Γιώργος Ρίζος]

Επιχειρώ μια υποτυπώδη εξήγηση του παραδόξου.

Νομίζω υπάρχει εκτενής βιβλιογραφία και συνδέεται με τη θεωρία παιγνίων.
Ο Νίκος νομίζω αναφέρεται στο αντίστοιχο παράδοξο με τον μελλοθάνατο στον οποίο ανακοινώνεται ότι θα εκτελεστεί η ποινή του κάποια μέρα μέσα στην εβδομάδα.


Οι μαθητές δεν μπορούν να συμπεράνουν ότι το διαγώνισμα δεν θα γίνει Παρασκευή, μπορούν μόνο να συμπεράνουν ότι αν ο δάσκαλος το είχε προγραμματίσει Παρασκευή ο ίδιος και μόνο θα ήξερε ότι δεν είναι έκπληξη. Όμως, ως "έκπληξη" εννοείται ότι από τη δήλωση του δασκάλου δεν συμπεραίνεται (από τους μαθητές) η ημερομηνία του διαγωνίσματος.
Επομένως δεν μπορούν να περάσουν στα επόμενα βήματα, δηλαδή να αποκλείσουν την Πέμπτη, την Τετάρτη κ.ο.κ., οπότε ούτε και η Παρασκευή αποκλείεται.

Άρα δεν το γλιτώνουν το καθημερινό διάβασμα...

Γιώργος Ρίζος

[antonis_math]

Πράγματι,υπάρχει εκτενής βιβλιογραφία,(μπορεί κανείς να βρεί αρκετές πληροφορίες στο διαδύκτιο) έχουν δωθεί διάφορες εξηγήσεις απο διάφορες σκοπιές. Πράγματι το πρόβλημα έχει την 'ιστορία' του, υπάρχει επίσης στο βιβλίο Άλγεβρας του John B. Fraleigh Πανεστημιακές Εκδόσεις Κρήτης στην 03 παράγραφο περι μαθηματικής επαγωγής σαν άλυτο πρόβλημα, προκαλώντας τους λύτες λέγοντας "δεν καταφέραμε ποτέ να βρούμε κάποιο σφάλμα στο α). Δοκιμάστε την τύχη σας".

Η δική μου άποψη είναι (η..προφανής!) οτι αφού ο συλλογισμός οδηγεί στο συμπέρασμα οτι δεν θα γράψουν καμιά μέρα διαγώνισμα, τότε πράγματι η οποιαδήποτε μέρα πέσει το διαγώνισμα θα είναι όντως έκπληξη.. Άρα δεν μπορεί να υπολογιστεί η μέρα διαγωνίσματος με μια λογική διαδικασία. Οπότε ο ισχυρισμός του δάσκαλου της τάξης ευσταθεί.

[nsmavrogiannis]

Συμπληρωματικά:
Σε ένα άλλο βιβλίο του Gardner το
Gardner, The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, University of Chicago Press, 1991
υπάρχει εκτενής αναφορά στο πρόβλημα.
Είναι ξαναδουλεμένη έκδοση του παλαιότερου (εγώ το έχω σε έκδοση Pelican του 1981)
Gardner, Further Mathematical Diversions, 1969
Δεν ξέρω όμως αν έχει μεταφραστεί στα Ελληνικά.
Μαυρογιάννης

[xalazia]

Καλημερα σας.Εγω θα απορρίψω μονο την Τριτη και την Τεταρτη μερα που εχει διαγωνισμα Ιστορια.Ολες οι αλλες μερες ειναι επιλαχουσες και περισσοτερο η Δευτερα.
Γιατι την ΔΕΥΤΕΡΑ?Μεσολαβει Σαββατοκύριακο και τα μαθηματικα θελουν διαβασμα.

[xr.tsif]

Υπάρχει κι μία πρακτική ότι την Δευτέρα δεν βάζουμε διαγώνισμα γιατί τα παιδιά , όπως και εμείς άλλωστε ,
χρειάζονται την Κυριακή για ξεκούραση και όχι για Διάβασμα.

[xalazia]

xr.tsif
Kαλημερα κυριε καθηγητα.Δυστυχως δεν εφαρμοζεται παντα το μετρο αυτο και πεφτει διαγωνισματακι και Δευτερα..

[antonis_math]

Ευχαριστώ τον Νίκο για τις παραπομπές, τον Γιώργο για την απάντηση του και τους συναδέλφους για τα σχόλια.Η δική μου απάντηση ήταν περιγραφική και ίσως όχι αναλυτική, που να αφορά τον συλλογισμό και πως περιγράφεται το πρόβλημά του.
Παραπέμπω και εδώ για όποιον ενδιαφέρεται
http://www-math.mit.edu/~tchow/unexpected.pdf

[antonis_math]

θέλω να συμπληρώσω την απάντηση που είχα δώσει:
Ο συλογισμός περιέχει αυτοαντίφαση.
Πράγματι, έστω οτι υπήρχε μια οποιαδήποτε διαδικασία λογική με την οποία να μπορούσε να αποκλειστεί μια μέρα ως πιθανή, ή έστω να μειώσει την πιθανότητα του να είναι μια υποψήφια μέρα. Τότε όσο θα μειωνόταν η πιθανότητα, εξ ορισμού αυτό θα την καθιστούσε τόσο περισσότερο πιθανή ως μέρα διαγωνίσματος. Δηλαδή τόσο θα αυξανόταν η πιθανότητα!

[Demetres]

Θυμάμαι ένα καθηγητή στο γυμνάσιο που κάποτε μας είπε: "Αύριο θα σας κάνω απρόοπτο διαγώνισμα." Τελικά μας έκανε διαγώνισμα αλλά δεν ήταν απρόοπτο,