Από Σ.Λουρίδα.

#1

την παρακάτω άσκηση τη βρήκα πριν λίγο,μου άρεσε και σας τη γράφω .
το βιβλίο που τη βρήκα γράφει ότι :

Η άσκηση κατασκευάστηκε από τον Σωτήρη Λουρίδα

Σωτήρη ,να σαι καλά,να κατασκευάζεις πάντα όμορφες ασκήσεις

..

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και Δ,Ε τυχαία σημεία των πλευρών ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα.
Αν ΔΖ,ΕΚ (Ζ $\in$ ΑΕ ,E $\in$ ΑΔ) είναι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου ΑΔΕ,
να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων ΔΕΖ και ΔΕΚ είναι μικρότερο ή ίσο από το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
Επίσης να εξηγήσετε σε ποιά περίπτωση ισχύει η ισότητα.

chris · #2

Κάπου το έχω δει πρόσφατα αλλά δεν θυμάμαι που

.

Έστω $T\equiv \Delta Z \cap EK$ και

σημείο της $\Delta E$ τέτοιο ώστε $\hat{\Delta TM}=\hat{MTE}=60^{o}$ αφού είναι γνωστό οτι $\hat{\Delta TE}=90^{o}+\frac{\hat{\Delta AE}}{2}=120^{o}$

Εύκολα βλέπουμε οτι τα τρίγωνα $T\Delta K,M\Delta T$ είναι ίσα(αφού $\Delta T$ κοινή και οι αντίστοιχες προσκείμενες σε αυτήν την πλευρά γωνίες ίσες) όπως ομοίως ίσα είναι και τα τρίγωνα EMT,ETZ

Απο αυτές τις ισότητες τριγώνων προκύπτει: $\Delta K=\Delta M(1)$ και EZ=EM(2)

Αν συμβολίσουμε με

το ύψος και

την πλευρά του τριγώνου ABC

τότε έχουμε:
$\displaystyle (Z\Delta E)+(\Delta EK)=\frac{(\Delta K)\cdot u_{1}}{2}+\frac{(EZ)\cdot u_{2} }{2}\leq \frac{(\Delta K)\cdot u}{2}+\frac{(EZ)\cdot u }{2} = \frac{(\Delta K)}{2}a\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{(EZ)}{2}a\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}[(\Delta K)+(EZ)]=\frac{a\sqrt{3}}{4}(\Delta E)\leq \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=(ABC)$
Αφού $u=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

H ισότητα ισχύει αν τα $\Delta,E$ κινούμενα στις πλευρές του τριγώνου ταυτίζονται συγχρόνως με τα B,C

αντίστοιχα

ΥΓ: Και ένα σχήμα για να βρίσκεται

: isopleuro.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

S.E.Louridas · #3

Φωτεινή θέλω να σε ευχαριστήσω προσωπικά και επίσης τους Σιλουανό και τον Μπάμπη ,αφού είστε εκτός από συνάδελφοι σημαίες και επιστήμονες με θάρρος. Έχει ενδιαφέρον η ιστορία της άσκησης αυτής αφού ήταν το δύσκολο θέμα στην Β.Μ.Ο στην Κύπρο όπου ήμουν αρχηγός της αποστολής με υπαρχηγό τον Α.Δούναβη και είχαμε ενα χρυσό του Στέφανου Αρετάκη Stefanos87 (14,5 χρόνων τότε) και τα άλλα 4 μετάλια όλα ασημένια και ένα χάλκινο.
ΟΜΩΣ τι σημαίνει προσπαθώ να κατασκευάζω ασκήσεις με σκοπό να καταξιωθούν σε διεθνής διαγωνισμούς ή και στούς Juniors ή Seniors αυτούς καθ' εαυτούς, όταν είσαι από τους εκλεκτούς της τύχης να σε φέρει να τους προπονήσεις; Ενας είναι ο στόχος και μόνο ένας να σε εμπιστευτούν εμπνέωντάς τους και στους μικρούς αυτούς Μαθηματικούς Επιστήμονες Ενας και Μόνο Ενας είναι ο τρόπος να καταξιωθείς στα μάτια τους ως Μαθηματικός και θα πρέπει να καταβάλλεις μία προσπάθεια Δύσκολη αλλά όμορφη Συνεχή και κουραστική αλλά που να σε δικαιώνει όχι σαν αυτοσκοπό αλλά στα μάτια τους.

Ευχαριστώ και πάλι

Σωτήρης

Stefanos87 · #4

Κυριε Λουριδα,

Θα μπορουσαμε να δειξουμε οτι το αθροισμα των εμβαδων ειναι μικροτερο ή ισο του εμβαδου του ΑΔΕ? Διοτι αν η ΑΤ τεμνει την ΔΕ στο Μ τοτε ΑΤ>ΤΜ (λογω διχοτομων..), οποτε βγαινει οτι το διπλασιο του εμβαδου του ΤΔΕ ειναι μικρ. η ισο του ΑΔΕ.

Στεφανος.

S.E.Louridas · #5

Το θέμα λοιπόν Στέφανε είναι να ασχοληθούμε με το εξής πρόβλημα:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με
$\mathop {\rm A}\limits^ \wedge = \frac{\pi } {3}\;\kappa \alpha \iota \;{\rm A}{\rm B} \leqslant {\rm B}\Gamma \leqslant \Gamma {\rm A},$
με ΒΔ και ΓΕ τις εσωτερικές διχοτόμους του και Μ μέσο της ΑΒ, Ν μέσο της ΑΓ.
Να αποδειχθεί ότι: ${\rm E}_{{\rm E}\Gamma {\rm M}} \geqslant {\rm E}_{{\rm B}\Delta {\rm N}}$ που νομίζω ότι τουλάχιστον υπολογιστικά αποδεικνύεται.Και έτσι θα έχουμε την όμορφη απόδειξη που προτείνεις.
Προφανώς ισχύει ότι: $\left( {\mathop {\rm B}\limits^ \wedge \geqslant \frac{\pi } {3} \wedge \mathop \Gamma \limits^ \wedge \leqslant \frac{\pi } {3}} \right) \vee \left( {\mathop {\rm B}\limits^ \wedge \leqslant \frac{\pi } {3} \wedge \mathop \Gamma \limits^ \wedge \geqslant \frac{\pi } {3}} \right).$

S.E.Louridas

Από Σ.Λουρίδα.

Από Σ.Λουρίδα.

Re: Από Σ.Λουρίδα.

Re: Από Σ.Λουρίδα.

Re: Από Σ.Λουρίδα.

Re: Από Σ.Λουρίδα.

Μέλη σε σύνδεση