Ανισοτικό κριτήριο ύπαρξης τριγώνου

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #1

Καλημέρα σε όλα τα μέλη του

Ζητώ συγνώμμη απο όλα τα μέλη για την προηγούμενη εσφαλμένη διατύπωση .
Παραθέτω τη σωστή :
ΑΣΚΗΣΗ
Αν α , β , γ θετικοί αριθμοί με μεγαλύτερο τον γ και ισχύει :
$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}<min\left\{\frac{3}{8}\left(\alpha+ \beta+ \gamma \right)^{2},3\alpha \beta +\gamma ^{2} \right\}$
να δείξετε ότι α , β , γ πλευρές τριγώνου .

kostas136 · #2

Θα γράψω μια απόπειρά μου αλλά αποδεικνύω κάτι λιγότερο ισχυρό από αυτό που ζητά ο Γιάννης. Θα δείξω ότι αν ισχύει: $a^{2}+b^{2}+c^{2}<\frac{3}{8}(a+b+c)^{2}$ τότε υπάρχει τρίγωνο με πλευρές $\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}.$ Έστω λοιπόν ότι:

$\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}<\frac{3}{8}(a+b+c)^{2}\Rightarrow (a+b+c)^{2}-2ab-2bc-2ac<\frac{3}{8}(a+b+c)^{2}\Rightarrow 5(a+b+c)^{2}-16(ab+bc+ca)<0\Rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ac}<\frac{16}{5}<4\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ac<0\Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c})<0$

Η τελευταία παραγοντοποίηση από De Moivre. Η 1η παρένθεση είναι προφανώς θετική, η 2η είναι αρνητική διότι ο

είναι ο μεγαλύτερος όλων, η 4η παρένθεση είναι θετική για τον ίδιο λόγο. Άρα η 3η παρένθεση πρέπει να είναι θετική, δηλαδή: $\sqrt{c}<\sqrt{a}+\sqrt{b}.$ Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει τρίγωνο με πλευρές $\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}.$ Βέβαια, δεν ζητά αυτό o Γιάννης,

.
Γιάννη, για διαφώτισέ μας, τί γίνεται με αυτήν την άσκηση;

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #3

Ενδιαφέρουσα η προσέγγιση του Κώστα και ουσιαστικά παράγει νέο ζητούμενο
χρησιμοποιώντας μόνο τη μια από τις δύο υποθέσεις της άσκησης .
Να δώσω και εγώ μια προσέγγιση .
από την α²+β²+γ² <3αβ +γ² προκύπτει α²+β²<3αβ άρα αβ-(α-β)²>0 (1)
επίσης 8(α²+β²+γ²)<3(α+β+γ)² από την οποία προκύπτει μετα από πράξεις ότι
5γ² - 6(α+β)γ + 5(α²+β²) - 6αβ < 0 .
θεωρούμε την f(x)=5x² - 6(α+β)x + 5(α²+β²) - 6αβ
Δ = ...64[αβ-(α-β)²] > 0 από την (1) άρα η f έχει δύο ρίζες στο R άνισες έστω ρ1 < ρ2 αυτές .
Και επειδή f(γ)<0 θα πρέπει ρ1<γ<ρ2.
$\rho _{1,2}=\frac{6\left(\alpha +\beta \right)\pm\sqrt{\Delta } }{10}$
αρκεί $\rho _{2}=\frac{6\left(\alpha +\beta \right)+\sqrt{\Delta } }{10}\leq \alpha +\beta \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \left(\alpha -\beta \right)^{2}\geq 0$ το οποίο ισχύει.//

kostas136 · #4

Γιάννη, εξαιρετική δουλειά πραγματικά. Το ερώτημά μου είναι: τί είναι αυτό που θα έκανε κάποιον να υποψιαστεί ότι το συμπέρασμα από την (1) θα εμφανιζόταν στην διακρίνουσα μετά; Μου φαίνεται, δηλαδή, ότι οι περισσότερες ασκήσεις από την Ολυμπιακή Θεματολογία είναι θέμα τύχης και ανελέητου ψαξίματος. Βέβαια, αυτή είναι και η ομορφιά τους, θα πεί κάποιος. Απλά, να διατυπώσω μια ανησυχία που είχα από μικρός: υπάρχει μαθηματική ενόραση που θα βοηθήσει κάποιον να πάει από το Α στο Δ χωρίς να περάσει από τα Β, Γ ή είναι θέμα τύχης και πνευματικού βομβαρδισμού από όλες τις μεριές μέχρι να πέσει το κάστρο-άσκηση; Θα ήμουν ευγνώμων να ακούσω τις απόψεις στο θέμα οποιουδήποτε φίλου από το

.

Ανισοτικό κριτήριο ύπαρξης τριγώνου

Ανισοτικό κριτήριο ύπαρξης τριγώνου

Re: Ανισοτικό κριτήριο ύπαρξης τριγώνου

Re: Ανισοτικό κριτήριο ύπαρξης τριγώνου

Re: Ανισοτικό κριτήριο ύπαρξης τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση