άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

Dimitris X · #1

$a,b,c \in \mathbb{R_+}$ .Νδο
$\sum_{cyc}(2+\frac{a}{b})^2 \ge \frac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$

Από Pham Kim Hung

Dimitris X · #2

Κανένας???

#3

Για να κάνω μια προσπάθεια:

Πολλαπλασιάζοντας τις δυο πλευρές με a^2b^2c^2(ab+bc+ca)

αρκεί να δείξω ότι

$\displaystyle{ \sum_{cyc} (5a^4bc^3 + a^5bc^2 + a^5c^3) \geqslant \sum_{cyc} (5a^4b^2c^2 + 2a^3b^3c^2)}$

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχουμε

(1) $\displaystyle{ a^4bc^3 + a^5bc^2 + a^3b^4c \geqslant 3a^4b^2 c^2}$ και άρα $\displaystyle{ \sum_{cyc} (2a^4bc^3 + a^5bc^2) \geqslant 3\sum_{cyc} a^4b^2c^2 }$

(2) $\displaystyle{ a^3b^4c + a^5c^3 \geqslant 2a^4b^2c^2}$ και άρα $\displaystyle{ \sum_{cyc} (a^4bc^3 + a^5c^3) \geqslant 2\sum_{cyc} a^4b^2c^2 }$

(3) $\displaystyle{ 2a^4bc^3 + 4a^3b^4c + ab^3c^4 \geqslant 7a^3b^3c^2}$ και άρα $\displaystyle{ 2\sum_{cyc} a^4bc^3 \geqslant 2\sum_{cyc} a^3b^3c^2 }$

Προσθέτοντας τις (1),(2) και (3) παίρνουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα.

#4

Όντως, η προταθείσα ανισότητα υπάρχει στο βιβλίο του Pham Kim Hung, Secrets in Inequalities σελ. 180. Βλέποντας τη λύση που υπάρχει εκεί, ''απελπίστηκα'' και δεν επιχείρησα να βρω κάτι απλούστερό.

Dimitris X · #5

matha έγραψε:Όντως, η προταθείσα ανισότητα υπάρχει στο βιβλίο του Pham Kim Hung, Secrets in Inequalities σελ. 180. Βλέποντας τη λύση που υπάρχει εκεί, ''απελπίστηκα'' και δεν επιχείρησα να βρω κάτι απλούστερό.

xaxaxa ακριβώς μια από τα ίδια....
Δείτε και εδώ
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=279637

chris · #6

Μία λύση απο τον Γιώργο Μπασδέκη στο συνημμένο.

άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

Re: άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

Re: άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

Re: άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

Re: άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

Re: άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

Μέλη σε σύνδεση