Τριγωνομετρική Ταυτότητα

kostas136 · #1

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \frac{2\sin ^{4}\theta +\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta -\cos ^{4}\theta }{3\sin ^{2}\theta -1}=1$

Eukleidis · #2

Για ευκολία θέτουμε $\displaystyle{{\sin ^2}\theta = a}$ και $\displaystyle{{\cos ^2}\theta = b}$ και ισχύει α+β=1

Αρα η δοθείσα γίνεται:

$\displaystyle{\frac{{2{a^2} + ab - {b^2}}}{{3a - 1}} = \frac{{2{a^2} + a\left( {1 - a} \right) - {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{3a - 1}} = \frac{{2{a^2} + a - {a^2} - {a^2} + 2a - 1}}{{3a - 1}} = 1}$

#3

$A=\frac{2\eta \mu ^4\theta +\eta \mu ^2\theta \sigma \upsilon \nu ^2\theta -\sigma \upsilon \nu ^4\theta}{3\eta \mu ^2\theta -1}= \frac{\eta \mu ^2\theta(\eta \mu ^2\theta +\sigma \upsilon \nu ^2\theta)+\eta \mu ^4\theta -\sigma \upsilon \nu ^4 \theta}{3\eta \mu ^2\theta -1}= \frac{\eta \mu ^2\theta + \eta \mu ^4\theta - \sigma \upsilon \nu ^4 \theta}{3\eta \mu ^2\theta -1 }= \frac{\eta \mu ^2\theta + \eta \mu ^4\theta - \sigma \upsilon \nu ^4 \theta}{3\eta \mu ^2\theta -1} = \frac{\eta \mu ^2\theta + \eta \mu ^2\theta - \sigma \upsilon \nu ^2 \theta}{3\eta \mu ^2\theta -1}= \frac{3 \eta \mu ^2\theta - 1}{3\eta \mu ^2\theta -1}= 1$

Χρήστος

#4

Eukleidis έγραψε:Για ευκολία θέτουμε $\displaystyle{{\sin ^2}\theta = a}$ και $\displaystyle{{\cos ^2}\theta = b}$ και ισχύει α+β=1

Αρα η δοθείσα γίνεται:

$\displaystyle{\frac{{2{a^2} + ab - {b^2}}}{{3a - 1}} = \frac{{2{a^2} + a\left( {1 - a} \right) - {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{3a - 1}} = \frac{{2{a^2} + a - {a^2} - {a^2} + 2a - 1}}{{3a - 1}} = 1}$

Το έξυπνο τέχνασμα του Γιώργου με παρακίνησε να αναζητήσω την πηγή της έμπνευσής του.

Δεν ξέρω, αν αυτό είχε στον νου του, αλλά θα μπορούσε...

: 03-09-2010 Trigonometry.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές

Σε τριγωνομετρικό κύκλο (r = 1), είναι ημθ = y και συνθ = x, με $\displaystyle x^2 + y^2 = 1$ .

Τότε $\displaystyle \frac{{2\eta \mu ^4 \theta + \eta \mu ^2 \theta \cdot \sigma \upsilon \nu ^2 \theta - \sigma \upsilon \nu ^4 \theta }}{{3\eta \mu ^2 \theta - 1}} = \frac{{2y^4 + y^2 \cdot x^2 - x^4 }}{{3y^2 - 1}} =$

$\displaystyle = \frac{{y^2 \left( {y^2 + x^2 } \right) + y^4 - x^4 }}{{3y^2 - 1}} = \frac{{y^2 + y^2 - x^2 }}{{3y^2 - 1}} = \frac{{3y^2 - 1}}{{3y^2 - 1}} = 1$

με τον περιορισμό το θ να παίρνει τέτοιες τιμές ώστε να είναι $\displaystyle \eta \mu ^2 \theta \ne \frac{1}{3}$ .

Γιώργος Ρίζος

Eukleidis · #5

Rigio έγραψε: Δεν ξέρω, αν αυτό είχε στον νου του, αλλά θα μπορούσε...
03-09-2010 Trigonometry.png
Σε τριγωνομετρικό κύκλο (r = 1), είναι ημθ = y και συνθ = x, με $\displaystyle x^2 + y^2 = 1$ .

Γιώργος Ρίζος

Ακριβώς αυτό είχα στο νου μου σε συνδυασμό όμως ότι εχουμε άρτιους εκθέτες με ελάχιστο βαθμό το 2

Τριγωνομετρική Ταυτότητα

Τριγωνομετρική Ταυτότητα

Re: Τριγωνομετρική Ταυτότητα

Re: Τριγωνομετρική Ταυτότητα

Re: Τριγωνομετρική Ταυτότητα

Re: Τριγωνομετρική Ταυτότητα

Μέλη σε σύνδεση