Ταυτοτική συνάρτηση

#1

Μπορεί η ταυτοτική συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x$ ) να γραφεί ως άθροισμα δύο περιοδικών συναρτήσεων;

#2

Ναι, μπορεί.

Έστω a,b

(θετικοί) πραγματικοί αριθμοί γραμμικά ανεξάρτητοι επί του $\mathbb{Q}$ . Θεωρούμε μια βάση

του $\mathbb{R}$ επί του $\mathbb{Q}$ που περιέχει τους

και

.

Ορίζουμε την

ώστε

και

, ενώ για κάθε $h\in H$ , $h\ne a, b$ ορίζουμε το αντίστοιχο f(h)

δίνοντας του όποια τιμή θέλουμε, και την

ώστε

για κάθε $h\in H$ . Τέλος, επεκτείνουμε τις

,

γραμμικά επί του $\mathbb{Q}$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι η

έχει περίοδο

(αφού

) και η

περίοδο

(αφού

) και ότι

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Αχιλλέα, ευχαριστώ. Περίπου ίδια είναι και η λύση που έχω και εγώ.
Φιλικά