Εξίσωση

nickthegreek · #1

Να βρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις x,y

της εξίσωσης:

4y^2+xy-3x^2-5x+6y-3=0

Φιλικά,
Νίκος

Ανδρέας Πούλος · #2

Για διευκόλυνση των juniors, η λύση είναι ένα μοναδικό ζεύγος ακεραίων.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Nick1990 · #3

Hint

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

nickthegreek · #4

Σωστές υποδείξεις και οι δύο!!!

Περιμένω μια πλήρη λύση...

Φιλικά,
Νίκος

nickthegreek · #5

Για να κλείσουμε αυτό το θέμα,ανεβάζω τη λύση στο πρόβλημα:

Με λίγη φαντασία γράφουμε την εξίσωση σε μορφή τριωνύμου ως προς

.Έχουμε λοιπόν:

(1) -3x^2+(y-5)x+4y^2+6y-3=0

.

H Διακρίνουσα της (1) είναι $\Delta _1=49y^2+62y-11$ ενώ $x_{1,2}=\frac{5-y\pm \sqrt{49y^2+62y-11}}{-6}$ .Επειδή όμως
$x \in Z \wedge y\in Z$ , πρέπει η Διακρίνουσα της (1) να είναι τέλειο τετράγωνο.
Θέτουμε $49y^2+62y-11=\kappa^2 \Rightarrow 49y^2+62y-(11+\kappa^2)=0$ (2).

Η διακρίνουσα της (2) είναι $\Delta _2=6000+196\kappa ^2$ και $y_{1,2}=\frac{-62\pm \sqrt{6000+196\kappa ^2}}{98}$ .Όμως
$y\in Z \wedge \kappa \in Z$ και άρα η $\Delta _2$ πρέπει επίσης να είναι τέλειο τετράγωνο.

Θέτουμε $6000+196\kappa ^2=\lambda ^2$ .Αν βρούμε όλα τα ακέραια κ και λ που ικανοποιούν αυτήν την σχέση θα έχουμε σχεδόν λύσει το πρόβλημα.(Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι κ και λ είναι θετικοί,καθώς δεν μας ενδιαφέρουν τόσο τα κ και λ,αλλά οι αριθμοί κ^2 και λ^2)

Έχουμε:

$6000+196\kappa ^2=\lambda ^2 \Rightarrow \lambda ^2-196\kappa ^2=6000\Rightarrow (\lambda +14\kappa )(\lambda -14\kappa )=6000$

Έχουμε όμως ότι $6000=1\times 2^4\times3\times5^3$ .Επίσης οι όροι λ+14κ και λ-14κ είναι ακέραιοι.Ο αριθμός 6000 βρίσκουμε με λίγο κόπο ότι έχει 40 διαιρέτες,οι οποίοι μπορούν να χωριστούν σε 20 ζευγάρια τα οποία έχουν γινόμενο 6000,π.χ 1500 X 4=6000,375 X 16=6000 κτλ.

Άρα αρκεί να λύσουμε 20 συστήματα (;;;;;!!!!!

) δύο εξισώσεων με δύο αγνωστους και να δούμε ποια από αυτά μας δίνουν ακέραια κ και λ.Η μοναδική λύση είναι λ=160 και κ=10.

Επιστρέφουμε στο πρόβλημά μας.Έχουμε ότι $(2)\Rightarrow 49y^2+62y-11=100\Rightarrow y=1$ και θέτοντας y=1 στην σχέση (1) μας δίνει μοναδική λύση x=1.

Άρα (x,y)=(1,1)

η μοναδική λύση της εξίσωσης!!! ο.ε.δ ole!!!

Φιλικά,
Νίκος

#6

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Για διευκόλυνση των juniors, η λύση είναι ένα μοναδικό ζεύγος ακεραίων.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Nick1990 έγραψε:Hint
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δείτε πότε η διακρίνουσα ως προς y μπορεί να είναι τετράγωνο. Φράξτε την από κατάλληλα τέλεια τετράγωνα χρησημοποιόντας το ότι ο συντελεστής του x είναι

Θέλουμε να υπενθυμίσουμε στα μέλη μας ότι σύμφωνα με τους κανόνες δεοντολογίας του mathematica που συνοδεύουν τον κανονισμό:

16) Κάθε άσκηση περιμένει μία ολοκληρωμένη απάντηση. Μη στέλνετε ελλιπείς απαντήσεις, υποδείξεις ή μόνο το αποτέλεσμα. Αποθαρρύνετε έτσι κάποιο άλλο μέλος να στείλει μία ολοκληρωμένη απάντηση. Αν έχετε κάποια σχόλια για μία άσκηση ή κάποια γενίκευση είναι προτιμότερο να τα καταθέσετε αφού η άσκηση λυθεί. Ακόμη και αν μία άσκηση έχει λυθεί, αν έχετε μία διαφορετική λύση μη διστάσετε να τη στείλετε.

Ανδρέας Πούλος · #7

Ας εργαστούμε με τα στοιχειώδη κόλπα τα "μονά-ζυγά" που εφαρμόζονται πολύ συχνά σε ασκήσεις Αριθμοθεωρίας.
Η αρχική εξίσωση ξαναγράφεται:

$4y^{2}-2x^{2}-4x +4y - 2 = x^{2}-xy + x - 1$ .

Το αριστερό μέλος της εξίσωσης είναι ένας άρτιος αριθμός, άρα και το δεξί παριστάνει έναν άρτιο αριθμό.

Όμως το δεξί μέλος γράφεται ως: x(x - y + 1)-1

. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός x( x - y + 1) είναι περιττός, δηλαδή οι αριθμοί x και y είναι και οι δύο περιττοί.
Έστω λοιπόν, x = 2a + 1 και y = 2b + 1. Αντικαθιστώντας τους x και y στην αρχική εξίσωση και μετά από μερικές πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση:

$8b^{2}-6a^{2}+15b - 10a + 2ab = 0$ , από την οποία προκύπτει ότι πρέπει ο β να είναι άρτιος. Έστω β = 2ρ

Άρα, η προηγούμενη εξίσωση (απλοποιώντας με το 2) μετατρέπεται στην $16p^{2}- 3a^{2}+ 15p - 5a + 2ap = 0$ .

Αυτή αν την πραγματευτούμε ως δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το ρ, έχουμε Δ = $(14a + 15)^{2}$ .

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι μόνο ο αριθμός 0, αφού πρέπει ο ρ να είναι ακέραιος. Συνεπώς, και ο α είναι 0, για τον ίδιο λόγο.
Άρα x = 1 και y = 1. Αυτό το ζεύγος αριθμών αποτελεί τη μοναδική λύση της αρχικής εξίσωσης.

#8

Ένας άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι (7x+7y+11)(28y-21x-2) = 125

Αφού

, υπάρχουν ακριβώς 8 τρόποι να γράψουμε το 125 ως γινόμενο δύο ακεραίων και μένει να λυθούν αυτά το 8 γραμμικά συστήματα για να βρεθούν οι δυνατές λύσεις.

Πως όμως έφτασα σε αυτήν την παραγοντοποίηση; Άρχισα συμπληρώνοντας το τετράγωνο.

0 = 4y^2 + xy - 3x^2 - 5x + 6y - 3 = (2y + x/4 + 3/2)^2 - 3x^2 - x^2 - 5x - 3x/4 - 3 - 9/4

Με μια δεύτερη συμπλήρωση τετραγώνου παίρνουμε

$\displaystyle{(2y+x/4 + 3/2)^2 = 49x^2/16 + 23x/4 + 21/4 = (7x/4 + 23/14)^2 + 21/4 - 529/196 = (7x/4 + 23/14)^2 + 500/196}$

Άρα (56y+7x +42)^2 = (49x+46)^2 = 2000

και παίρνοντας την διαφορά των δυο τετραγώνων καταλήγουμε στην αρχική παρατήρηση.

#9

Επίσης μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η εξίσωση

4y^2+xy-3x^2-5x+6y-3=0

,

μετασχηματίζεται ισοδύναμα στην

(49y+31)^2-(-42x+7y-35)^2=1500.

Βρίσκοντας λοιπόν τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

X^2-Y^2=1500

, όπου

και

(εύκολα, $(Χ-Y)(Χ+Υ)=2^2\cdot3\cdot5^3$ ),

λύνουμε τα συστήματα και προκύπτει η μοναδική λύση (1,1) για την εξίσωση (49y+31)^2-(-42x+7y-35)^2=1500.

, δηλαδή για την

4y^2+xy-3x^2-5x+6y-3=0

.

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης

ΥΓ: Σχεδόν ίδια διαπραγμάτευση έκανε και ο Δημήτρης παραπάνω!

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση