Βρείτε την f (2η)

#1

ακόμα μία από την ίδια συλλογή
=========================

Αν $f '' (x) +\big(f '(x)\big)^2=4$ για κάθε $x\in \mathbb R$ , να βρείτε την

mathxl · #2

Έχω μία προσέγγιση αλλά χρειάζομαι και κάποια αρχική συνθήκη! Ροδόλφε Φωτεινή έχουμε καμία;
Πιο συγκεκριμένα έχω
Θέτω $\displaystyle{f\left( x \right) = \ln g\left( x \right),g\left( x \right) > 0,\forall x \in R}$

και η αρχική ισοδύναμα μετασχηματίζεται στην $\displaystyle{g''\left( x \right)g\left( x \right) = 4{g^2}\left( x \right) \Leftrightarrow g''\left( x \right) = 4g\left( x \right) \Leftrightarrow 2g''\left( x \right)g'\left( x \right) = 8g'\left( x \right)g\left( x \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left( {{{\left[ {g'\left( x \right)} \right]}^2}} \right)^\prime } = 4{\left( {{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}} \right)^\prime } \Leftrightarrow {\left[ {g'\left( x \right)} \right]^2} = 4{\left[ {g\left( x \right)} \right]^2} + c}$
τώρα αν μαγειρευτεί ώστε c=0 έχουμε
$\displaystyle{{\left[ {g'\left( x \right)} \right]^2} = 4{\left[ {g\left( x \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \left| {\frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right| = 2}$
και μπορούμε να συνεχίσουμε

#3

mathxl έγραψε:Έχω μία προσέγγιση αλλά χρειάζομαι και κάποια αρχική συνθήκη! Ροδόλφε Φωτεινή έχουμε καμία;

Βασίλη ,δεν έχω τίποτα περισσότερο

#4

Πολλαπλασιάζοντας επί $\displaystyle{ e^{f(x)} }$

έχω τα παρακάτω:

$\displaystyle{ e^{f(x)} f''(x) + e^{f(x)} f'(x)f'(x) = 4e^{f(x)} \Rightarrow (e^{f(x)} f'(x))' = 4e^{f(x)} \Rightarrow (e^{f(x)} )'' = 4e^{f(x)} }$

Θέτω $\displaystyle{ g(x) = e^{f(x)} }$

αρα γίνεται:

$\displaystyle{ g''(x) = 4g(x) }$

Παρακάτω δε μπορώ να σκαρφιστώ κάτι ''εντός'' ύλης για να βγάλω πως

$\displaystyle{ g(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{ - 2x} \Rightarrow e^{f(x)} = c_1 e^{2x} + c_2 e^{ - 2x} }$

να πάρω λογάριθμους, κτλ,κτλ . Νομίζω πως η συνθήκη είναι απαραίτητη.

#5

Είναι η 6Γ5 σελίδα 128 στο βιβλίο "οι ασκήσεις" εδώ και δεν δίνεται καμία αρχική συνθήκη (Υπονοούνται στο τέλος οι συνήθεις)

Βρείτε την f (2η)

Βρείτε την f (2η)

Re: Βρείτε την f (2η)

Re: Βρείτε την f (2η)

Re: Βρείτε την f (2η)

Re: Βρείτε την f (2η)

Μέλη σε σύνδεση