Βαλκανιάδα Νέων 2000

nickthegreek · #1

Μια όμορφη άσκηση από την Βαλκανιάδα νέων το 2000...

Έστω $x,y\in R$ τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση: x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000

.Να δειχθεί ότι x+y=10

Φιλικά,
Νίκος

chris · #2

Γειά σου Νίκο

,

Λοιπόν η σχέση γίνεται:

$\displaystyle x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000\Leftrightarrow \left(x^3+y^3+30xy-1000 \right)+\left((x+y)^3-1000 \right)=0$

Θέτουμε: x+y=a,xy=b

και έχουμε:
$(x+y)^3-1000=a^3-1000=(a-10)(a^2+10a+100){\color{red}(* )}$

Αφού βγαίνει κοινός παράγοντας το a-10=x+y-10

προσπαθούμε να δημιουργήσουμε τον ίδιο κοινό παράγοντα και στην άλλη παρένθεση:
$\displaystyle x^3+y^3+30xy-1000=(x+y)^3-3xy(x+y)+30xy-1000=a^3-3ab+30b-1000=\left(a^3+10a^2+100a-3ab \right)+\left(-10a^2-1000-100a+30b \right)=a\left(a^2+10a+100-3b \right)-10\left(a^2+10a+100-3b \right)=\left(a-10 \right)\left(a^2+10a+100-3b \right){\color{red}(* *)}$

Η αρχική λόγω των ${\color{red}(* )},{\color{red}(* *)}$ γίνεται:
$\displaystyle (\left a-10 \right)\left(a^2+10a+100-3b \right)+(a-10)(a^2+10a+100)=0\Rightarrow \left(a-10 \right)\left(2a^2+20a+200-3b \right)=0\Rightarrow a=x+y=10$

ΥΓ: Νίκο μάλλον εννοείς θετικούς πραγματικούς για να είναι θετική η δεύτερη παρένθεση μετά την αντικατάσταση...

Φιλικά,
Χρήστος

#3

chris έγραψε: Θέτουμε:
...
$(a-10)(a^2+10a+100)=0\Rightarrow \left(a-10 \right)\left(2a^2+20a+200-3b \right)=0\Rightarrow a=x+y=10$

ΥΓ: Νίκο μάλλον εννοείς θετικούς πραγματικούς για να είναι θετική η δεύτερη παρένθεση μετά την αντικατάσταση...

Χρήστο, τελικά δεν χρειάζεται να περιοριστούμε στους θετικούς ακεραίους καθώς

$\displaystyle{2a^2+20a+200-3b = 2(x+y)^2 + 20(x+y) + 200 -3xy = 2x^2 +(y+20)x + (2y^2 +20y+200)}$

που, ως συνάρτηση του

, έχει $\Delta = (y+20)^2 - 2\cdot 4\cdot (2y^2 +20y+200) = -15(y+4)^2 - 960 < 0$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

chris · #4

κ.Μιχάλη ευχαριστώ

...απλά δεν το συνέχισα στις πράξεις

Φιλικά

Βαλκανιάδα Νέων 2000

Βαλκανιάδα Νέων 2000

Re: Βαλκανιάδα Νέων 2000

Re: Βαλκανιάδα Νέων 2000

Re: Βαλκανιάδα Νέων 2000

Μέλη σε σύνδεση