Από Φωτεινής Θέμα!!

S.E.Louridas · #1

Με βάση Άσκηση της Φωτεινής ας δούμε το εξής Θέμα – Μέθοδο:

►Ποια η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος ΑΔ, η διάμεσος ΒΕ, η διχοτόμος ΓΖ να συντρέχουν;

S.E.Louridas

#2

Οι $\displaystyle{AD,BE,CZ}$ συντρέχουν αν και μόνο αν ισχύει

$\displaystyle{\frac{AZ}{ZB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,}$ από το θεώρημα Ceva.

Όμως, είναι $\displaystyle{AE=EC}$ και από το θεώρημα των διχοτόμων $\displaystyle{\frac{AZ}{ZB}=\frac{b}{a}.}$

Άρα, η παραπάνω συνθήκη γίνεται

$\displaystyle{\frac{BD}{DC}=\frac{a}{b}.}$

Όμως, $\displaystyle{\frac{BD}{DC}=\frac{c \cos B}{b \cos C}}$ και τελικά η ζητούμενη συνθήκη είναι

$\displaystyle{b(a^2 +c^2 -b^2)=a(b^2 +a^2 -c^2).}$

S.E.Louridas · #3

Ή με βάση και καθαρή τριγωνομετρική 'εμφάνιση', η ικανή και αναγκαία συνθήκη διαμορφώνεται και στην
συνΒεφΓ=ημΑ.

S.E.Louridas

#4

S.E.Louridas έγραψε: συνΒεφΓ=ημΑ

... και προχωρώντας το λίγο για να βρούμε τέτοια τρίγωνα, γράφοντας ημΑ = ημ(Β+Γ)= ... στη σχέση του Σωτήρη,
βγαίνει σφΒ = $\frac{1}{\sigma \upsilon \nu ^2 \Gamma}- \frac{1}{\sigma \upsilon \nu \Gamma}$ .
Συνεπώς, βάζοντας τιμές στο Γ βρίσκουμε όσα τέτοια τρίγωνα θέλουμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

ας μπω κι εγώ λίγο στην παρέα ,αφού άκουσα το όνομά μου

ξεκινάμε από τη σχέση του Θάνου

matha έγραψε:
$\displaystyle{b(a^2 +c^2 -b^2)=a(b^2 +a^2 -c^2).}$

γνωρίζουμε : $\displaystyle{\sigma\phi B=\frac{c^2+a^2-b^2}{4E},\quad,\sigma\phi C=\frac{b^2+a^2-c^2}{4E}}$ ,,κάνουμε τις αλλαγές και καταλήγουμε στη σχέση του Σωτήρη

S.E.Louridas έγραψε: συνΒεφΓ=ημΑ.

εδώ συνεχίζει ο Μιχάλης

#6

Σχετικό και το
viewtopic.php?f=50&p=40395#p40395
Μαυρογιάννης

Από Φωτεινής Θέμα!!

Από Φωτεινής Θέμα!!

Re: Από Φωτεινής Θέμα!!

Re: Από Φωτεινής Θέμα!!

Re: Από Φωτεινής Θέμα!!

Re: Από Φωτεινής Θέμα!!

Re: Από Φωτεινής Θέμα!!

Μέλη σε σύνδεση