Ανισότητα Carlson.

#1

Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}.}$

Ανισότητα Carlson

chris · #2

Θα χρησιμοποιήσουμε τις ανισότητες:

α) $\displaystyle 9(a+b)(a+c)(b+c)\geq 8(a+b+c)(ab+bc+ac)\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\geq 0$

b) $\displaystyle (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

Συνεπώς:
$\displaystyle LHS\geq \sqrt[3]{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}}\geq \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3(ab+bc+ac)}(ab+bc+ac)}{9}}=\sqrt{\frac{ab+bc+ac}{3}}=RHS$

kwstas12345 · #3

Mετα από ύψψωση στην έκτη αρκεί να δείξούμε:

$\displaystyle \prod{\left(a+b \right)}^{2}\geq \frac{64}{27}\left(ab+bc+ca \right)^{3}$

Όμως:

$\displaystyle 9\prod{\left(a+b \right)}=8\prod{\left(a+b \right)}+\prod{\left(a+b \right)}\geq 8\left(\prod{\left(a+b \right)} +abc\right)=\left(a+b+c \right)\left(ab+bc+ca \right)\Rightarrow \prod{\left(a+b \right)}^{2}\geq \frac{64}{81}\left(a+b+c \right)^{2}\left(ab+bc+ca \right)^{2}$ (1)

Όμως και:

$\displaystyle \left(a+b+c \right)^{2}\geq 3\left(ab+bc+ca \right)\Leftrightarrow \sum{a^{2}}+2\sum{ab}\geq 3\sum{ab}\Leftrightarrow \sum{a^{2}}\geq \sum{ab}$ που είναι αληθείς,άρα η (1) θα γίνει μετέπειτα:

$\displaystyle \prod{\left(a+b \right)}^{2}\geq \frac{64}{27}\left(a+b+c \right)^{2}\left(ab+bc+ca \right)^{2}\geq \frac{64}{27}\left(ab+bc+ca \right)^{3}$ που είναι και η ζητούμενη.

Φιλικά,
Κώστας

#4

Μετά την ωραία αντιμετώπιση από τους Chris και kwstas, ας παραθέσω ακόμα μία απόδειξη όπως αυτή εμφανίζεται στο κλασικό βιβλίο Means and their Inequalities των Bullen, Mitrinovic, Vasic. Στην πραγματικότητα είναι ίδια με του Chris, απλώς αποδεικνύεται διαφορετικά η πρώτη βοηθητική ανισότητα (με χρήση της ΑΜ-ΓΜ).

Είναι

$\displaystyle{(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)-\sqrt[3]{abc}\cdot \sqrt[3]{(abc)^2}\geq }$

$\displaystyle{\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{a+b+c}{3}\cdot \frac{ab+bc+ca}{3}=\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

Μετά, συνεχίζουμε όπως ο Chris.

Savvass · #5

matha έγραψε:Μετά την ωραία αντιμετώπιση από τους Chris και kwstas, ας παραθέσω ακόμα μία απόδειξη όπως αυτή εμφανίζεται στο κλασικό βιβλίο Means and their Inequalities των Bullen, Mitrinovic, Vasic. Στην πραγματικότητα είναι ίδια με του Chris, απλώς αποδεικνύεται διαφορετικά η πρώτη βοηθητική ανισότητα (με χρήση της ΑΜ-ΓΜ).

Είναι

$\displaystyle{(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)-\sqrt[3]{abc}\cdot \sqrt[3]{(abc)^2}\geq }$

$\displaystyle{\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{a+b+c}{3}\cdot \frac{ab+bc+ca}{3}=\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

Μετά, συνεχίζουμε όπως ο Chris.

Πολύ χρήσιμη η αρχική ισότητα για την επιλυση ανισοτήτων. Για την χρήση της συγκεκριμένης ισότητας γίνεται λόγος στο volume 14,number 1 του Mathematical Excalibur (http://www.math.ust.hk/excalibur/). Έχει πολλά καλά παραγείγματα και σίγουρα αξίζει μια "ανάγνωση".

Ανισότητα Carlson.

Ανισότητα Carlson.

Re: Ανισότητα Carlson.

Re: Ανισότητα Carlson.

Re: Ανισότητα Carlson.

Re: Ανισότητα Carlson.

Μέλη σε σύνδεση