Διαγώνιες Παραλληλόγραμου

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Απάντηση
kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:
Επικοινωνία kostas136

Διαγώνιες Παραλληλόγραμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 »

Ορμώμενος από την ταυτότητα στους μιγαδικούς σκέφτηκα την παρακάτω άσκηση για τους μικρούς μας φίλους.
Έστω παραλληλόγραμμο ABCD με διαγώνιες τις AC, BD φυσικά και περίμετρο S. Να αποδείξετε ότι:

S^{2}\leq 4AC^{2}+4BD^{2}<2S^{2}
Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
Κορυφή
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1052
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Διαγώνιες Παραλληλόγραμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 »

Μια λυκειακή λύση...
Eφαρμόζωντας το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο \displaystyle \Delta ADC η DO είναι διάμεσος και

\displaystyle 2DO=BD άρα: \displaystyle DO^{2}=\frac{2AD^{2}+2DC^{2}-AC^{2}}{4}\Rightarrow \left(2AD \right)^{2}=2AD^{2}+2DC^{2}-AC^{2}\Rightarrow 4BD^{2}=8AD^{2}+8DC^{2}-4AC^{2}\Rightarrow 4BD^{2}+4AC^{2}=8AD^{2}+8DC^{2}

Eπομένως

\displaystyle \bullet 8AD^{2}+8DC^{2}= 4\left(2AD^{2}+DC^{2} \right)\geq 4\left(AD+DC \right)^{2}=\left(2AD+DC \right)^{2}=S^{2}

\displaystyle \bullet 2S^{2}=8\left(AD+DC \right)^{2}=8\left(AD^{2}+DC^{2}+2AD\cdot CD \right)>8AD^{2}+8DC^{2}

και τελικά:\displaystyle S^{2}\leq 8\left(AD^{2}+DC^{2} \right)<2S^{2} που είναι και η ζητούμενη με την ισότητα να ισχύει όταν

\displaystyle AD=DC δηλαδή όταν το παραληλόγραμμο είναι τετράγωνο.

Φιλικά,
Κώστας
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5534
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διαγώνιες Παραλληλόγραμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος »

Για την όμορφη άσκηση του Κώστα, να παρατηρήσω ότι κάνουμε έναν μακρύ περίπατο σε διαφορετικές ενότητες της ύλης στη Γ΄ Γυμνασίου. Ασφαλώς απευθύνεται σε μαθητές αυξημένων δυνατοτήτων και απαιτήσεων!
24-09-2010 Geometry.png
24-09-2010 Geometry.png (18.1 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές
Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ = ΓΔ = α, ΒΓ = ΑΔ = β φέρνουμε τα ύψη ΔΛ και ΓΚ με μήκος υ.
Τότε, επειδή τα τρίγωνα ΑΔΛ και ΒΓΚ είναι ίσα, θα είναι ΑΛ = ΓΚ = x.

Στα ορθ. τρίγωνα ΑΓΚ και ΔΒΛ, από Πυθ. Θεώρημα είναι \displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 = \left( {\alpha + x} \right)^2 + \upsilon ^2 ,\;\;{\rm A}\Delta ^2 = \left( {\alpha - x} \right)^2 + \upsilon ^2

Οπότε: \displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 + {\rm A}\Delta ^2 = \left( {\alpha + x} \right)^2 + \left( {\alpha - x} \right)^2 + 2\upsilon ^2 = 2\alpha ^2 + 2x^2 + 2\upsilon ^2

Στο ΑΔΛ, από Πυθ. Θεώρημα είναι: \displaystyle \beta ^2 = x^2 + \upsilon ^2, οπότε: \displaystyle {\rm A}\Gamma ^2 + {\rm A}\Delta ^2 = 2\alpha ^2 + 2\beta ^2

Η περίμετρος S του ΑΒΓΔ ισούται με \displaystyle S = 2\left( {\alpha + \beta } \right).

Για να αποδείξουμε την ανίσωση: \displaystyle S^2 \le 4{\rm A}\Gamma ^2 + 4{\rm B}\Delta ^2 αρκεί:
\displaystyle \begin{array}{l} 4\left( {\alpha + \beta } \right)^2 \le 8\left( {\alpha ^2 + \beta ^2 } \right)\; \Leftarrow \;\alpha ^2 + 2\alpha \beta + \beta ^2 \le 2\alpha ^2 + 2\beta ^2 \; \Leftarrow \\ \Leftarrow \;0 \le \alpha ^2 - 2\alpha \beta + \beta ^2 \; \Leftarrow 0 \le \left( {\alpha - \beta } \right)^2 \; \\ \end{array}

που ισχύει, με το (=) όταν α = β (ΑΒΓΔ τετράγωνο).

Για να αποδείξουμε την ανίσωση: \displaystyle 4{\rm A}\Gamma ^2 + 4{\rm B}\Delta ^2 < 2S^2 αρκεί:
\displaystyle 8\left( {\alpha ^2 + \beta ^2 } \right) < 8\left( {\alpha + \beta } \right)^2 \; \Leftarrow \;\alpha ^2 + \beta ^2 < \alpha ^2 + 2\alpha \beta + \beta ^2 \; \Leftarrow \;0 < 2\alpha \beta \;
που ισχύει, αφού α, β θετικοί αριθμοί ως μήκη ευθ. τμημάτων.

ΣΧΟΛΙΟ: Στη Β΄ Λυκείου την αρχική ισότητα, θα την δείχναμε απευθείας και ως εφαρμογή του θεωρήματος Euler σε παραλληλόγραμμο.

Οι αντίστροφες συνεπαγωγές σε επίπεδο Γυμνασίου να διαβαστούν ως "αρκεί να ισχύει".

Γιώργος Ρίζος
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες